专题3.1导数概念及其几何意义【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测导数概念及其几何意义了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义。2022·文科21；理科22;1.求切线方程或确定切点坐标问题为主；2.单独考查导数概念的题目极少.3.备考重点：(1)熟练掌握基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则；(2)熟练掌握直线的倾斜角、斜率及直线方程的点斜式.【知识清单】1．导数的概念1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即.2．函数f(x)的导函数称函数为f(x)的导函数．对点练习：求函数的在处的导数.【答案】8\n2．函数在处的导数几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．对点练习：【2022四川理数】设直线l1，l2分别是函数f(x)=图象上点P1，P 2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是()（A）(0,1)（B）(0,2)（C）(0,+∞)（D）(1,+∞)【答案】A【解析】8\n【考点深度剖析】本节中导数的运算、导数的几何意义等是重点知识，基础是导数运算.导数的几何意义为全国卷高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题中前几问，难度较低．归纳起来常见的命题探究角度有：(1)求切线方程问题．(2)确定切点坐标问题．(3)已知切线问题求参数．(4)切线的综合应用．【重点难点突破】考点1利用导数的定义求函数的导数【1-1】一质点运动的方程为.（1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；（2）求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法）【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵∴Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt-3(Δt)2,.（2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度求导法：质点在t时刻的瞬时速度8\n，当t=1时，v=-6×1=-6.【领悟技法】1.根据导数的定义求函数在点处导数的方法：①求函数的增量；②求平均变化率；③得导数，简记作：一差、二比、三极限.2.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数,【触类旁通】【变式一】若，则（）A．B．C．D．【答案】B法二（注重导数定义中各变量的联系的解法）：因为，所以（其中：），故选B.考点2导数的几何意义【2-1】曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为（）A．B．C．和D．【答案】C.8\n【解析】因，令，故或，所以或，经检验，点，均不在直线上，故选C．【2-2】【2022山西孝义二模】曲线过点处的切线方程是_____________.【答案】【2-3】已知曲线，（1）求曲线在点P(2,4)处的切线方程；（2）求曲线过点P(2,4)的切线方程；（3）求斜率为4的曲线的切线方程..【答案】（1）(2)(3).【解析】（1）上，且∴在点P(2,4)处的切线的斜率k==4;∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即（2）设曲线与过点P(2,4)的切线相切于点A（x0，），则切线的斜率，∴切线方程为（）=（-），即∵点P(2,4)在切线上，∴4=2，即，∴，∴（x0+1）(x0-2)2=0解得x0=-1或x0=2故所求的切线方程为.（3）设切点为（x0,y0）8\n则切线的斜率为k=x02=4,x0=±2.切点为（2，4），（-2，-4/3）∴切线方程为y-4=4(x-2)和y+4/3=4(x+2)即.【领悟技法】1.求函数图象上点处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率，由导数的几何意义知，故当存在时，切线方程为.2.可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数在处的导数表示曲线在点处切线的斜率，因此，曲线在点处的切线方程，可按如下方式求得：第一，求出函数在处的导数，即曲线在点处切线的斜率；第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程；如果曲线在点处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为.【触类旁通】【变式一】已知函数的图象在点处的切线方程是，则．【答案】【解析】【变式二】已知函数，则函数点P（1，）的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为.【答案】8\n【解析】因为切线斜率所以切线方程为，与两坐标轴的交点为因此围成的三角形的面积为【易错试题常警惕】易错典例1：已知曲线．（1）求曲线在处的切线方程；（2）求曲线过点的切线方程．易错分析：易于因为审题不严或理解有误，将两道小题混淆，特别是第（2）小题独立出现时．正确解析：（1）∵，∴曲线在处的斜率．∵时，，∴曲线在处的切线方程为，即．温馨提醒：(1)对于曲线切线方程问题的求解，对函数的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．(2)对于已知的点，应首先认真审题,对于确定切线的方程问题，要注意区分8\n“该曲线过点P的切线方程”与“该曲线在点P处的切线方程”的两种情况，避免出错.从历年高考题看，“该曲线在点P处的切线方程”问题的考查较为普遍.【学科素养提升之思想方法篇】————近似与精确、有限与无限——无限逼近的极限思想1.由可以知道，函数的导数是函数的瞬时变化率，函数的瞬时变化率是平均变化率的极限，充分说明极限是人们从近似中认识精确的数学方法.极限的实质就是无限近似的量，向着有限的目标无限逼近而产生量变导致质变的结果，这是极限的实质与精髓，也是导数的思想及其内涵.2.曲线的切线定义，充分体现了运动变化及无限逼近的思想：“两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合(切点)”“割线→切线”.(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．【典例】己知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】8
