第04节函数奇偶性与周期性班级__________姓名_____________学号___________得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.【2022肇庆三模】在函数，，中，偶函数的个数是( )A.3B.2C.1D.0【答案】B【解析】为奇函数，为非奇非偶函数，与为偶函数.2.【2022赣中南五校联考】已知是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且，则a的值为( )A.5B.1C.－1D.－3【答案】A3.已知函数f(x)＝x，若f(x1)<f(x2)，则( )A.x1>x2B.x1＋x2＝0C.x1<x2D.x<x【答案】D【解析】∵.∴在R上为偶函数，，∴时，，∴在[0，＋∞)上为增函数，由，得，∴|x1|<|x2|，∴.4.【2022陕西西安一模】奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为( )A.2B.1C.－1D.－2【答案】A【解析】∵为偶函数，∴，则f(－x)＝f(x＋2)，-8-\n又y＝f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)＝f(x＋2)，且f(0)＝0.从而的周期为4.∴.5.【2022·沈阳模拟】函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f的值为( )A.B.C．－D．－【答案】A6.【2022山东济宁模拟】设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意得，当，因此，故选C.7．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，且当x∈[-1,0]时，fx=12x，则f(log28)等于（）A.3B.18C.-2D.2【答案】D【解析】用x+1代换x,得f(x+2)=f(x),f(x)为周期函数,T=2log28=3f（3）=f（1）=f（-1）=2,本题选择D选项.8．【2022东北三校二模】已知偶函数的定义域为，若为奇函数，且，则的值为（）A.-3B.-2C.2D.3【答案】D-8-\n9.已知定义在上的函数是奇函数，且在上是减函数，，则不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于是向左平移个单位得到,结合函数的图象可知当或，纵横坐标的积不大于,即应选C.10.【2022四川宜宾二诊】已知定义在上的奇函数满足，当时，，则A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意得，因为，则，所以函数表示以为周期的周期函数，又因为为奇函数，所以，所以，，，所以，故选B.11.函数的定义域为R，若与都是奇函数，则（）-8-\nA．是偶函数B．是奇函数C．D．是奇函数【答案】D【解析】与都是奇函数，，所以函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数．12.【2022宁夏银川二模】若函数f(x)=3+2x-12x+1+sin2x在区间[-k,k](k>0)上的值域为[m,n]，则m+n等于A.0B.2C.4D.6【答案】D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13.【2022东北四市联考】已知是R上最小正周期为2的周期函数，且当时，，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.【答案】7【解析】因为当时，.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，∴，故函数的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.14.【2022安徽合肥质检】若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝则f＋f＝________.【答案】-8-\n【解析】由于函数是周期为4的奇函数，所以.15.已知为偶函数，则．【答案】1216.若对任意x∈R，函数f(x)满足，且f(2018)＝－2017，则f(－1)＝________.【答案】2022【解析】由，得，令，即，所以，即函数的周期是2.令x＝0，得＝2017，即＝2017，又＝f(1)＝f(－1)，所以f(－1)＝2017.三、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数f(x)＝{-x2+2x,x>00,x=0x2+mx,x<0是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．【答案】（1）2；（2）(1,3]．.-8-\n故实数a的取值范围是(1,3]．18．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.(1)判定f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式.【答案】（1）偶函数；（2）f(x)＝.【解析】 (1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x).又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x).又f(x)的定义域为R，∴f(x)是偶函数.(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，则f(x)＝f(－x)＝x；进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.故f(x)＝19．已知定义在的函数，其中e是自然对数的底数．-8-\n（Ⅰ）判断奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）是上的奇函数；（Ⅱ）.∴20．已知函数f(x)=loga1-mxx-1(a>0且a≠1)是奇函数.（1）求实数m的值；（2）判断函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性并说明理由；（3）当x∈(n,a-2)时，函数f(x)的值域为(1,+∞)，求实数n,a的值.【答案】（1）m=-1.；（2）当a>1时f(x)在(1，+∞)上是减函数，当0<a<1时f(x)在(1，+∞)上是增函数；(3)n=1，a=2+3.【解析】（1）由已知条件得f(-x)+f(x)=0对定义域中的x均成立，所以logamx+1-x-1+loga1-mxx-1=0,即mx+1-x-1⋅1-mxx-1=1即m2x2-1=x2-1对定义域中的x均成立，得m2=1，m=±1当m=1时显然不成立，所以m=-1.（2）由（1）知f(x)=logax+1x-1，其定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)设t=x+1x-1=1+2x-1，当x1>x2>1时，t1-t2=2x1-1-2x2-1=2(x1-x2)(x1-1)(x2-1)，所以t1<t2；-8-\n(i)n<a-2<-1，0<a<1,所以f(x)在(n,a-2)上为增函数，要使f(x)值域为(1，+∞)，则a-2=-1logan+1n-1=1（无解）.(ii)1<n<a-2，则a>3，所以f(x)在(n,a-2)上为减函数，要使f(x)值域为(1，+∞)，则n=1logaa-1a-3=1所以n=1，a=2+3-8-
