2-3函数的奇偶性与周期性基础巩固强化1.(文)下列各函数中，( )是R上的偶函数( )A．y＝x2－2x B．y＝2xC．y＝cos2xD．y＝[答案] C[解析] A、B不是偶函数，D的定义域{x∈R|x≠±1}不是R，故选C.(理)(2012·洛阳示范高中联考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A．y＝x3 B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1D．y＝2－|x|[答案] B[解析] y＝x3是奇函数，y＝－x2＋1与y＝2－|x|在(0，＋∞)上为减函数，故选B.2．已知g(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，＋∞)内有1007个零点，则f(x)的零点共有( )A．2014个B．2015个C．1007个D．1008个[答案] B[解析] ∵奇函数的图象关于原点对称，g(x)在(0，＋∞)上与x轴有1007个交点，故在(－∞，0)上也有1007个交点，又f(0)＝0，∴共有零点2015个．3．(文)若奇函数f(x)(x∈R)满足f(3)＝1，f(x＋3)＝f(x)＋f(3)，则f等于( )A．0 B．1 C. D．－[答案] C[解析] 在f(x＋3)＝f(x)＋f(3)中取x＝－得，f＝f＋f(3)，∵f(x)是奇函数，且f(3)＝1，∴f＝.[点评] 解答此类题目，一般先看给出的值和待求值之间可以通过条件式怎样赋值才能产生联系，赋值时同时兼顾奇偶性或周期性的运用．13\n(理)(2011·兰州诊断)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－，当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)＝( )A．4.5B．－4.5C．0.5D．－0.5[答案] D[解析] ∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝f(x)，∴f(x)周期为4，∴f(6.5)＝f(6.5－8)＝f(－1.5)＝f(1.5)＝1.5－2＝－0.5.4．函数y＝log2的图象( )A．关于原点对称B．关于直线y＝－x对称C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称[答案] A[解析] 首先由>0得，－2<x<2，其次令f(x)＝log2，则f(x)＋f(－x)＝log2＋log2＝log21＝0.故f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故选A.5．(文)奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为( )A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)[答案] D[解析] ∵f(x)为奇函数，∴不等式<0化为xf(x)<0，∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，∴当0<x<1时，f(x)<0，当x>1时，f(x)>0，又f(x)为奇函数，∴当－1<x<0时，f(x)>0，当x<－1时，f(x)<0.∴不等式xf(x)<0的解集为0<x<1或－1<x<0.(理)(2012·河南洛阳统考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)>0的x的取值范围是( )13\nA．(－1,0)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[答案] B[解析] ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－lg(－x)，且f(0)＝0，∴f(x)>0⇔或解得x>1或－1<x<0.6．(2012·河南商丘模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f(－)的值为( )A．－B．0C.D．T[答案] B[解析] ∵f(－)＝－f()，且f(－)＝f(－＋T)＝f()，∴f()＝0，∴f(－)＝0.7．已知函数y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式<0的解集是________．[答案] ∪[解析] 依据偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f(x)、g(x)的图象，∵<0，∴或观察两函数的图象，其中一个在x轴上方，一个在x13\n轴下方的，即满足要求，∴－<x<0或<x<π.8．(文)函数f(x)＝是奇函数，则a＋b＝________.[答案] 1[解析] ∵f(x)是奇函数，且x∈R，∴f(0)＝0，即a＝0.又f(－1)＝－f(1)，∴b－1＝－(1－1)＝0，即b＝1，因此a＋b＝1.(理)若函数f(x)＝(a为常数)在定义域上为奇函数，则实数a的值为________．[答案] 1或－1[解析] f(－x)＝＝f(x)＋f(－x)＝＝＝0恒成立，所以a＝1或－1.9．(2012·衡阳六校联考)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．[答案] －[解析] 由a≠0得1－a≠1＋a.当a>0时，1－a<1<1＋a，则f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－3a－1，由f(1－a)＝f(1＋a)得a＝－<0，舍去；当a<0时，1－a>1>1＋a，则f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a13\n＋1，由f(1－a)＝f(1＋a)得a＝－<0.综上所述，a＝－.10．(2012·扬州模拟)已知函数f(x)对任意x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2.(1)求证：f(x)是奇函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．[解析] (1)证明：令x＝y＝0，知f(0)＝0；再令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)解：对任意x1、x2∈[－3,3]，设x1<x2，则x2－x1>0，∴f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)<0，∴f(x)为减函数．而f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.∴f(x)max＝f(－3)＝6，f(x)min＝f(3)＝－6.能力拓展提升11.(文)f(x)是定义在R上的奇函数且满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈(0,1)时，f(x)＝2x－1，则f(log6)＝( )A. B．－ C. D．6[答案] B[解析] ∵log6＝－log26<0，且f(x)为奇函数，∴f(log6)＝－f(log26)．又∵f(x＋2)＝f(x)，∴f(log26)＝f(log26－2)＝f(log2)，而log2∈(0,1)．∴f(log2)＝2log2－1＝－1＝.∴f(log6)＝－.(理)(2012·吉林延吉市质检)函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)是偶函数，f(x－1)是奇函数，若f(0.5)＝9，则f(8.5)等于( )13\nA．－9B．9C．－3D．0[答案] B[解析] ∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∵f(x－1)是奇函数，∴f(－x－1)＝－f(x－1)，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，在此式中以x＋1代替x得f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(8.5)＝f(0.5)＝9.[点评] 令F(x)＝f(x－1)，∵F(x)为奇函数，∴F(－x)＝－F(x)，∴f(－x－1)＝－f(x－1)．12．(文)已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若g(1)＝2，则f(2014)的值为( )A．2B．0C．－2D．±2[答案] C[解析] 由已知：g(－x)＝f(－x－1)，又g(x)、f(x)分别为R上的奇、偶函数，∴－g(x)＝f(x＋1)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的周期T＝4，∴f(2014)＝f(2)＝g(－1)＝－g(1)＝－2，故选C.(理)已知函数f(x)满足：f(1)＝2，f(x＋1)＝，则f(2015)等于( )A．2 B．－3 C．－ D.[答案] C[解析] 由条件知，f(2)＝－3，f(3)＝－，f(4)＝，f(5)＝f(1)＝2，故f(x＋4)＝f(x) (x∈N*)．∴f(x)的周期为4，故f(2015)＝f(3)＝－.[点评] 严格推证如下：f(x＋2)＝＝－，13\n∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝f(x)．即f(x)周期为4.故f(4k＋x)＝f(x)，(x∈N*，k∈N*)，13．(2012·合肥二模)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－a2)>f(2a)，则实数a的取值范围是________．[答案] (－3,1)[解析] 依题意得，函数f(x)＝x2＋2x在[0，＋∞)上是增函数，又因为f(x)是R上的奇函数，所以函数f(x)是R上的增函数，要使f(3－a2)>f(2a)，只需3－a2>2a.由此解得－3<a<1，即实数a的取值范围是(－3,1)．14．(2012·福州质检)已知集合M是满足下列条件的函数f(x)的全体：(1)f(x)既不是奇函数也不是偶函数；(2)函数f(x)有零点．那么在函数①f(x)＝|x|－1，②f(x)＝2x－1，③f(x)＝④f(x)＝x2－x－1＋lnx中，属于M的有________．(写出所有符合条件的函数序号)[答案] ②④[解析] 对于①，∵f(－x)＝|－x|－1＝|x|－1，∴f(x)＝|x|－1是偶函数，∴①不符合条件；易知f(x)＝2x－1既不是奇函数也不是偶函数，且有一个零点x＝0，∴②符合条件；对于③，令x>0，则－x<0，∴f(x)＝x－2，f(－x)＝－x＋2＝－(x－2)，即f(x)＝－f(－x)，又f(0)＝0，∴f(x)＝是奇函数，∴③不符合条件；对于④，函数f(x)＝x2－x－1＋lnx的定义域为(0，＋∞)，故它既不是奇函数也不是偶函数，∵f′(x)＝2x－1＋＝＝>0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝1－1－1＋0＝－1<0，f(e)＝e2－e－1＋1＝e(e－1)>0，∴函数f(x)在(1，e)上存在零点，∴④符合条件．故应选择②④.15．已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x＋T)＝Tf(x)成立．(1)函数f(x)＝x是否属于集合M？说明理由；(2)设f(x)∈M，且T＝2，已知当1<x<2时，f(x)＝x＋lnx，当－3<x<－2时，求f(x)的解析式．[解析] (1)假设函数f(x)＝x属于集合M，则存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x＋T)＝Tf(x)成立，即x＋T＝Tx成立．令x＝0，得T＝0，与题目矛盾．故f(x)∉M.(2)f(x)∈M，且T＝2，则对任意x∈R，有f(x＋2)＝2f(x)．13\n设－3<x<－2，则1<x＋4<2.又f(x)＝f(x＋2)＝f(x＋4)，且当1<x<2时，f(x)＝x＋lnx，故当－3<x<－2时，f(x)＝[x＋4＋ln(x＋4)]．16．(文)已知函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)是奇函数．(1)求m的值；(2)判断f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明；(3)当a>1，x∈(1，)时，f(x)的值域是(1，＋∞)，求a的值．[解析] (1)∵f(x)是奇函数，x＝1不在f(x)的定义域内，∴x＝－1也不在函数定义域内，令1－m·(－1)＝0得m＝－1.(也可以由f(－x)＝－f(x)恒成立求m)(2)由(1)得f(x)＝loga(a>0且a≠1)，任取x1、x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，令t(x)＝，则t(x1)＝，t(x2)＝，∴t(x1)－t(x2)＝－＝，∵x1>1，x2>1，x1<x2，∴x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0.∴t(x1)>t(x2)，即>，∴当a>1时，loga>loga，即f(x1)>f(x2)；当0<a<1时，loga<loga，即f(x1)<f(x2)，∴当a>1时，f(x)在(1，＋∞)上是减函数，当0<a<1时，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．(3)∵a>1，∴f(x)在(1，)上是减函数，∴当x∈(1，)时，f(x)>f()＝loga(2＋)，13\n由条件知，loga(2＋)＝1，∴a＝2＋.(理)已知函数f(x)＝－x2＋8x，g(x)＝6lnx＋m.(1)求f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值h(t)；(2)是否存在实数m，使得y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．[解析] (1)f(x)＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，当t＋1<4，即t<3时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，h(t)＝f(t＋1)＝－(t＋1)2＋8(t＋1)＝－t2＋6t＋7；当t≤4≤t＋1，即3≤t≤4时，h(t)＝f(4)＝16；当t>4时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，h(t)＝f(t)＝－t2＋8t.综上，h(t)＝(2)函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数φ(x)＝g(x)－f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点．∵φ(x)＝x2－8x＋6lnx＋m，∴φ′(x)＝2x－8＋＝＝ (x>0)．当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)是增函数；当x∈(1,3)时，φ′(x)<0，φ(x)是减函数；当x∈(3，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)是增函数；当x＝1或x＝3时，φ′(x)＝0.∴φ(x)极大值＝φ(1)＝m－7，φ(x)极小值＝φ(3)＝m＋6ln3－15.∵当x充分接近0时，φ(x)<0；当x充分大时，φ(x)>0.∴要使φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只需即7<m<15－6ln3.所以存在实数m，使得函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为(7,15－6ln3)．13\n1．下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( )A．f(x)＝sinxB．f(x)＝－|x＋1|C．f(x)＝(ax＋a－x)D．f(x)＝ln[答案] D[解析] y＝sinx与y＝ln为奇函数，而y＝(ax＋a－x)为偶函数，y＝－|x＋1|是非奇非偶函数．y＝sinx在[－1,1]上为增函数．故选D.2．(2012·南昌二中月考)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则( )A．f(x)是偶函数B．f(x)是奇函数C．f(x)＝f(x＋2)D．f(x＋3)是奇函数[答案] D[解析] 由于f(x＋1)是奇函数，则函数f(x)的对称中心为(1,0)，∴f(1＋x)＝－f(1－x)，即f(x)＝－f(2－x)．又f(x－1)是奇函数，则函数f(x)的对称中心为(－1,0)，∴f(－1＋x)＝－f(－x－1)，即f(x)＝－f(－2－x)，∴f(2－x)＝f(－2－x)，∴f(4－x)＝f(x)．可知4为函数f(x)的周期，则f(x＋3)是奇函数，故选D.3．已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝f(log3)，c＝f(0.20.6)，则a、b、c的大小关系是( )A．c<b<aB．b<c<aC．b<a<cD．a<b<c[答案] C[解析] 由题意知f(x)＝f(|x|)．∵log47＝log2>1，|log3|＝log23>log2，0<0.20.6<0.20＝1，∴|log3|>|log47|>|0.20.6|.又∵f(x)在(－∞，0]上是增函数，且f(x)为偶函数，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数．∴b<a<c.故选C.4．若f(x)是偶函数，且当x∈[0，＋∞]时，f(x)＝x－1，则不等式f(x－1)<0的解集是( )A．{x|－1<x<0}B．{x|x<0或1<x<2}13\nC．{x|0<x<2}D．{x|1<x<2}[答案] C[解析] ∵f(x)为偶函数，x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，∴当x∈(－∞，0]时，f(x)＝f(－x)＝－x－1，∴f(x－1)<0⇒或解之得0<x<2.5．若函数f(x)、g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有( )A．f(2)<f(3)<g(0)B．g(0)<f(3)<f(2)C．f(2)<g(0)<f(3)D．g(0)<f(2)<f(3)[答案] D[解析] 由已知，f(－x)－g(－x)＝－f(x)－g(x)＝e－x，∴f(x)＋g(x)＝e－x，又f(x)－g(x)＝ex，故f(x)＝，g(x)＝－.∵f′(x)＝>0，故f(x)单调递增，∴f(3)>f(2)且f(2)＝>0>g(0)＝－1，故选D.6．给出下列三个等式：f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(x＋y)＝.下列函数中不满足其中任何一个等式的是( )A．f(x)＝3xB．f(x)＝sinxC．f(x)＝log2xD．f(x)＝tanx[答案] B[解析] 选项A，满足f(x＋y)＝f(x)f(y)；选项C满足f(xy)＝f(x)＋f(y)；选项D，满足f(x＋y)＝.7．(2012·东北三校联考)若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，函数g(x)＝则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数是( )A．5 B．7 C．8 D．10[答案] C[解析] 依题意得，函数f(x)是以2为周期的函数，在同一直角坐标系内分别画出函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象(如图所示)，结合图象得，当x∈13\n[－5,5]时，它们的图象的公共点共有8个，即函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数是8，选C.8．(2012·深圳调研)给出四个函数：f(x)＝x＋，g(x)＝3x＋3－x，u(x)＝x3，v(x)＝sinx，其中满足条件：对任意实数x及任意正数m，有f(－x)＋f(x)＝0及f(x＋m)>f(x)的函数为( )A．f(x)B．g(x)C．u(x)D．v(x)[答案] C[解析] 注意到满足题中的条件：f(－x)＝－f(x)(x∈R)，即所求函数是定义在R上的奇函数；f(x＋m)>f(x)，其中m>0，即所求函数是R上的增函数．对于A，函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，因此A不正确；对于B，函数g(x)是偶函数，因此B不正确；对于C，函数u(x)＝x3是奇函数且是定义在R上的增函数，因此C正确；对于D，v(x)＝sinx不是R上的增函数，因此D不正确．选C.9．(2012·山西四校联考)已知函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2都有<0成立，则实数a的取值范围为( )A．(－∞，2)B．(－∞，]C．(－∞，2]D．[，2)[答案] B[解析] 函数f(x)是R上的减函数，于是有由此解得a≤，即实数a的取值范围是(－∞，]，选B.10．对于函数f(x)定义域内任意的x1、x2(x1≠x2)，13\n①f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；③>0; ④f<.当f(x)＝2x时，上述结论中正确结论的序号是______．[答案] ①③④[解析] 由于2x1＋x2＝2x1·2x2，所以①正确；由于f(x)在R上为增函数，即当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，所以有>0，因此③正确；又f(x)＝2x的图象向下凸出，所以④正确．而20×1≠20＋21，所以②不正确，故填①③④.13
