第05节二次函数与幂函数班级__________姓名_____________学号___________得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集为(-∞,-3)∪(1,+∞)，则函数y＝f(－x)的图象可以为【答案】B【解析】由f(x)<0的解集为{x|x<-3或x>1}知a<0，y＝f(x)的图象与x轴交点为(－3，0)，(1，0)，所以y＝f(－x)图象开口向下，与x轴交点为(3，0)，(－1，0)．故选B.2.【2022湖南衡阳模拟】已知：幂函数在上单调递增；，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A又，故是的充分不必要条件，选A.3.【2022重庆巴蜀中学三诊】设，，则下列结论不正确的是（）A.B.C.D.-10-\n【答案】D【解析】取可知D错.选D.4.已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】【解析】5.已知，,函数.若,则()A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】由题设可知是对称轴，即，又因，故二次函数的开口向下，即，应选答案B。6.设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为( )A．4B．2C．1D．3【答案】 D-10-\n【解析】由解析式可得f(－4)＝16－4b＋c＝f(0)＝c，解得b＝4.f(－2)＝4－8＋c＝－2，可求得c＝2.∴f(x)＝又f(x)＝x，则当x≤0时，x2＋4x＋2＝x，解得x1＝－1，x2＝－2.当x>0时，x＝2，综上可知有三解．7．已知函数，若，则实数a的取值范围是( )A．[－2,2]B．(－2,2]C．[－4,2]D．[－4,4]【答案】AA．56B．112C．0D．38【答案】B【解析】由二次函数图象的性质得，当3≤x≤20时，，∴.9.【2022河北衡水中学模拟】已知二次函数的两个零点分别在区间和内，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意得，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为），而，所以直线过C取最大值，过B点取最小值，的取值范围是，选A.-10-\n10.关于x的二次方程(m＋3)x2－4mx＋2m－1＝0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m的取值范围是( )A．B．C．m<－3或m>0D．m<0或m>3【答案】A【解析】由题意知得，故选A.11.【2022云南师范大学附中模拟】对于某个给定的函数，称方程的根为函数的不动点，若二次函数有两个不动点，且，当时，与的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】A12.已知函数，对任意的，恒成立，则的最小值为（）A.3B.2C.1D.0-10-\n【答案】A【解析】因为二次函数恒非负，故，再由得到，则，故当，且时，取得最小值是3，即时，最小值是，故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13.【2022安徽池州联考】已知幂函数y=f(x)的图象过点(4,2)，则log14f(2)=__________．【答案】-1414.设二次函数，如果，则=_________________【答案】－2【解析】由题意知，因为，所以.15.【重庆市2022届二诊】设函数，若在区间的值域为，则实数的取值范围为__________．-10-\n【答案】【解析】由题意，可以考虑采用数形结合法，作出函数的图象，当时，函数单调递减，且最小值为，则令，解得，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，则最大值为2，且，，综上得所求实数的取值为.16.【2022江苏苏锡常镇四市调研】已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围为__________．【答案】-10-\n三、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数满足，对任意，都有,且．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若，使方程成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)．-10-\n∴，故，∴（Ⅱ）由得，由题意知方程在有解.令，∴∴，∴，所以满足题意的实数取值范围.18．【2022浙江杭州模拟】已知函数h(x)＝(m2－5m＋1)xm＋1为幂函数，且为奇函数．(1)求m的值；(2)求函数g(x)＝h(x)＋，x∈的值域．【答案】(1)0;(2).-10-\n19．【2022浙江温州中学3月模拟】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)，对任意实数x，不等式2x≤f(x)≤12(x+1)2恒成立，（Ⅰ）求f(-1)的取值范围；（Ⅱ）对任意x1,x2∈[-3,-1]，恒有|f(x1)-f(x2)|≤1，求实数a的取值范围.【答案】(Ⅰ)(-2,0];(Ⅱ)14≤a≤9+1732.【解析】（1）依据题设条件，借助不等式恒成立建立函数分析探求；（2）借助题设条件运用分类整合思想分析探求：(Ⅱ)对任意x1,x2∈[-3,-1]都有|f(x1)-f(x2)|≤1等价于在[-3,-1]上的最大值与最小值之差M≤1，由（1）知f(x)=ax2+2(1-a)x+a，a∈(0,12]，即f(x)=a(x-a-1a)2+2-1a，对称轴：x0=1-1a∈(-∞,-1]据此分类讨论如下：(ⅰ)当-2<x0≤-1即13<a≤12时，M=f(-3)-f(x0)=16a+1a-8≤1，⇒9-1732≤a≤9+1732⇒13<a≤9+1732.-10-\n(ⅱ)当-3<x0≤-2,即14<a≤13时，M=f(-1)-f(x0)=4a+1a-4≤1恒成立.（ⅲ）当x0≤-3，即0<a≤14时，M=f(-1)-f(-3)=4-12a≤1⇒a=14.综上可知，14≤a≤9+1732.20．设函数fx=x2+ax+b,a,b∈R．（1）若fx在区间0,4上不单调且在x=4时取到最大值，求实数a的取值范围；（2）存在实数a和b，使得当x∈0,4时，1≤fx≤m恒成立，求实数m的最小值．【答案】(1)-4≤a<0;(2)m的最小值为5，当a=-4，b=5时取到．【解析】（1）由题，0<-a2≤2，解得-4≤a<0．（2）设函数fx在0,4上的最大值和最小值分别为fmaxx和fminx，则问题等价于fmaxx≤m且fminx≥1（解题中体现这一点就给分）．①当4a+16≥0时，m≥b+4a+16≥a2+44+4a+16≥5；②当4a+16<0时，m≥b≥a2+44>5；③当-a2≥4即a≤-8时，有fminx=f0=b+4a+16≥1,fmaxx=f4=b≤m,此时m≥b≥-4a-15≥17；综上，实数m的最小值为5，当a=-4，b=5时取到．-10-
