限时练(四)(建议用时：40分钟)一、选择题1．若集合M＝{y|y＝2－x}，P＝{y|y＝}，则M∩P＝( )．A．{y|y>1}B．{y|y≥1}C．{y|y>0}D．{y|y≥0}解析 ∵M＝{y|y>0}，P＝{y|y≥0}，∴M∩P＝{y|y>0}．答案 C2．已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，则点B的坐标为( )．A．(7,4)B．(7,14)C．(5,4)D．(5,14)解析 设B(x，y)，由＝3a，得解得答案 D3．“1＜x＜2”是“x＜2”成立的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析 当1＜x＜2时，必有x＜2；而x＜2时，如x＝0，推不出1＜x＜2，所以“1＜x＜2”是“x＜2”的充分不必要条件．答案 A4．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )．A．a＋b≥2B.＋≥C.＋≥2D．a2＋b2>2ab解析 因为ab>0，所以>0，>0，5\n所以＋≥2＝2(当且仅当a>b时等号成立)．答案 C5．在等比数列{an}中，a5·a11＝3，a3＋a13＝4，则＝( )．A．3B.C．3或D．－3或－解析 由a5·a11＝3，得a3·a13＝3，又a3＋a13＝4，解得或所以＝＝3或.答案 C6．已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cosB＝，b＝2，sinC＝2sinA，则△ABC的面积为( )．A.B.C.D.解析 由正弦定理＝，得c＝2a①由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得4＝a2＋c2－2ac×②由①②得：a＝1，c＝2，又sinB＝＝.所以S△ABC＝acsinB＝×1×2×＝.答案 B5\n7．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )．A.B．5C.D.解析 双曲线－＝1的一条渐近线设为y＝x，由方程组消去y，得x2－x＋1＝0，由题意知该方程有唯一解，所以Δ＝2－4＝0，所以e＝＝＝＝.答案 D8．设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( )．A．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nB．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β解析 A中的直线m，n也有可能异面或相交，所以不正确．B正确．C中α，β不一定垂直，错误．D中当m，n相交时，结论成立，当m，n不相交时，结论不成立．所以选B.答案 B二、填空题9．若直线y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则k＝________.解析 直线y＝kx＋1恒过定点A(0,1)，要使截得的弦最短，需圆心(1,0)和A点的连线与直线y＝kx＋1垂直，所以k·＝－1，即k＝1.答案 15\n10．已知sin＝，则cos的值为________．解析 cos＝cos＝－sin＝－.答案 －11．已知实数x，y满足则r的最小值为________．解析 作出约束条件表示的可行域，如图中的三角形，三角形内(包括边)到圆心的最短距离即为r的值，所以r的最小值为圆心到直线y＝x的距离，所以r的最小值为.答案 12．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，记Sn为{an}的前n项和，则S2013＝________.解析 由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)可得a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，该数列是周期为4的数列，所以S2013＝503(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2013＝503×(－2)＋1＝－1005.答案 －100513．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析 如图所示：5\n该几何体为长为4，宽为3，高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1，高为1的圆柱后剩下的部分．∴S表＝(4×1＋3×4＋3×1)×2＋2π×1×1－2π×12＝38.答案 3814．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是________．解析 ∵x>0，y>0且＋＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x＝4，y＝2时取等号，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，即8>m2＋2m，解得－4<m<2.答案 (－4,2)15．已知向量a，b满足|a|＝，|b|＝1，且对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，则a与b的夹角大小为________．解析 |a|＝，|b|＝1，|a＋xb|≥|a＋b|对一切实数x恒成立，两边平方整理得x2＋2a·bx－2a·b－1≥0对一切实数x恒成立，所以(2a·b)2＋4(2a·b＋1)≤0，即(a·b＋1)2≤0，所以a·b＝－1，故cos〈a，b〉＝＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝，即a，b的夹角是.答案 5
