突破练(一)1.已知函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x－，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(B)＝1.(1)求角B的大小；(2)若a＝，b＝1，求c的值．解 (1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin，所以f(B)＝sin＝1，又∈，所以2B＋＝，所以B＝.(2)法一 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得c2－3c＋2＝0，所以c＝1，或c＝2.法二 由正弦定理＝＝得sinA＝，所以A＝或A＝，当A＝时，C＝，所以c＝2；当A＝时，C＝，所以c＝1.2.如图所示，在三棱锥P－ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.6\n(1)求证：AB∥GH；(2)求二面角D－GH－E的余弦值．(1)证明 因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EF∥AB，DC∥AB.所以EF∥DC.又EF⊄平面PCD，DC⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.又EF⊂平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD＝GH，所以EF∥GH.又EF∥AB，所以AB∥GH.(2)解 在△ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ，所以∠ABQ＝90°.又PB⊥平面ABQ，所以BA，BQ，BP两两垂直．以B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BA＝BQ＝BP＝2，则E(1,0,1)，F(0,0,1)，Q(0,2,0)，D(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)．所以＝(－1,2，－1)，＝(0,2，－1)，＝(－1，－1,2)，＝(0，－1,2)．设平面EFQ的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，由m·＝0，m·＝0，得取y1＝1，得m＝(0,1,2)．6\n设平面PDC的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，由n·＝0，n·＝0，得取z2＝1，得n＝(0,2,1)，所以cos〈m，n〉＝＝.因为二面角D－GH－E为钝角，所以二面角D－GH－E的余弦值为－.3．某企业为打入国际市场，决定从A，B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如表所示：(单位：万美元)项目类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多可生产的件数A产品20m10200B产品40818120其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计m∈[6,8]．另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．(1)写出该厂分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域；(2)如何投资最合理(可获得最大年利润)?请你作出规划．解 (1)由年销售量为x件，按利润的计算公式，得生产A，B两种产品的年利润y1，y2分别为y1＝10x－(20＋mx)＝(10－m)x－20(x∈N,0≤x≤200)，y2＝18x－(8x＋40)－0.05x2＝－0.05x2＋10x－40(x∈N,0≤x≤120)．(2)因为6≤m≤8，所以10－m>0，函数y1＝(10－m)x－20是[0,200]上的增函数，所以当x＝200时，生产A产品有最大利润为(10－m)×200－20＝1980－200m(万美元)．又y2＝－0.05(x－100)2＋460(x∈N,0≤x≤120)．所以当x＝100时，生产B产品有最大利润为460万美元．因为y1max－y2max＝1980－200m－460＝1520－200m6\n所以当6≤m<7.6时，可投资生产A产品200件；当m＝7.6时，要生产A产品与生产B产品均可；当7.6<m≤8时，可投资生产B产品100件．4．如图，点P(0，－1)是椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．解 (1)由题意得所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y＝kx－1.又圆C2：x2＋y2＝4，故点O到直线l1的距离d＝，所以|AB|＝2＝2.又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.由消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故x0＝－.所以|PD|＝.设△ABD的面积为S，则S＝|AB|·|PD|6\n＝，所以S＝≤＝，当且仅当k＝±时取等号．所以所求直线l1的方程为y＝±x－1.5．数列{an}满足：a1＋2a2＋…＋nan＝4－，n∈N*.(1)求a3的值；(2)求数列{an}前n项和Tn；(3)令b1＝a1，bn＝＋an(n≥2)，证明：数列{bn}的前n项和Sn满足Sn<2＋2lnn.(1)解 a1＝1，a1＋2a2＝2，a2＝，a1＋2a2＋3a3＝4－，a3＝.(2)解 n≥2时，a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＝4－，与原式相减，得nan＝，an＝，n＝1也符合，Tn＝＝2－.(3)证明 n≥2时，bn＝＋an＝＋an故Sn＝i＝a1＋＋a2＋＋a3＋…＋＋an＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝Tn6\n＝<2，只需证明2<2＋2lnn，n∈N*.对于任意自然数k∈N，令x＝－∈(－1,0)时，ln＋<0，即<ln(k＋1)－lnk.∴k＝1时，<ln2－ln1，k＝2时，<ln3<ln2.…k＝n－1时，<ln2－ln(n－1)．∴1＋＋＋…＋<1＋(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋…＋[lnn－ln(n－1)]，即1＋＋＋…＋<1＋lnn，所以n≥2时，2<2＋2lnn，综上n∈N＋时，Sn<2＋2lnn.6
