规范练四 解析几何问题1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点到直线l1：3x＋4y＝0的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l2：y＝kx＋m(km≠0)与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点恰好在直线l1上，求△OAB的面积S的最大值(其中O为坐标原点)．解 (1)由题意，得e＝＝.∴右焦点(c,0)到直线3x＋4y＝0的距离为，∴＝，∴c＝1，∴a＝2.∴椭圆的方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线l2：y＝kx＋m代入椭圆方程＋＝1，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，因此x1＋x2＝－，x1x2＝.∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝.∴AB中点M，又点M在直线l1上，得3×＋4×＝0，∴k＝1，故x1＋x2＝，x1x2＝，∴|AB|＝|x1－x2|＝＝，原点O到AB的距离为d＝＝|m|，∴S＝≤×＝，当且仅当m2＝时取到等号，经检验此时Δ>0成立．故△OAB的面积S的最大值为.2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线l：x－y＋＝0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B4\n两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝4，证明：直线AB过定点.(1)解 ∵等轴双曲线离心率为，∴椭圆C的离心率e＝.∴e2＝＝＝，∴a2＝2b2.∵由x－y＋＝0与圆x2＋y2＝b2相切，得b＝1，∴a2＝2.∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明 ①若直线AB的斜率不存在，设方程为x＝x0，则点A(x0，y0)，B(x0，－y0)．由已知＋＝4，得x0＝－.此时AB方程为x＝－，显然过点.②若直线AB的斜率存在，设AB方程为y＝kx＋m，依题意m≠±1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.则x1＋x2＝－，x1x2＝.由已知k1＋k2＝4，可得＋＝4，∴＋＝4，即2k＋(m－1)＝4，将x1＋x2，x1x2代入得k－＝2，∴k＝2(m＋1)，∴m＝－1.故直线AB的方程为y＝kx＋－1，即y＝k－1.∴直线AB过定点.综上，直线AB过定点.3．设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上两点，已知m＝，n＝，若m·n＝0且椭圆的离心率e＝，短轴长为2，O为坐标原点．4\n(1)求椭圆的方程；(2)试问△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．解 (1)∵2b＝2，∴b＝1，∴e＝＝＝.∴a＝2，c＝.故椭圆的方程为＋x2＝1.(2)①当直线AB斜率不存在时，即x1＝x2，y1＝－y2，由m·n＝0，得x－＝0⇒y＝4x.又A(x1，y1)在椭圆上，所以x＋＝1，∴|x1|＝，|y1|＝，S＝|x1||y1－y2|＝|x1|·2|y1|＝1.②当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y＝kx＋b(其中b≠0)，代入＋x2＝1，得(k2＋4)x2＋2kbx＋b2－4＝0.有Δ＝(2kb)2－4(k2＋4)(b2－4)＝16(k2－b2＋4)>0，x1＋x2＝，x1x2＝，由已知m·n＝0得x1x2＋＝0⇔x1x2＋＝0，代入整理得2b2－k2＝4，代入Δ中可得b2>0满足题意，∴S＝|AB|＝|b|＝＝＝1.综上，所以△ABC的面积为定值．4．如图，已知A是圆x2＋y2＝4上的一个动点，过点A作两条直线l1，l2.它们与椭圆＋y2＝1都只有一个公共点，且分别交圆于点M，N.(1)若A(－2,0)，求直线l1，l2的方程；(2)①求证：对于圆上的任一点A，都有l1⊥l2成立；②求△AMN面积的取值范围．4\n(1)解 设过点A的直线的方程为y＝k(x＋2)，代入＋y2＝1得(1＋3k2)x2＋12k2x＋12k2－3＝0，由Δ＝0得，k2－1＝0，设l1，l2的斜率分别为k1，k2，得k1＝1，k2＝－1.∴直线l1，l2的方程分别为y＝x＋2，y＝－x－2.(2)①证明 (ⅰ)当l1，l2斜率都存在时，设点A(x0，y0)，则x＋y＝4.设经过点A(x0，y0)与椭圆只有一个公共点的直线为y＝k(x－x0)＋y0，代入＋y2＝1化简得(1＋3k2)x2＋6k(y0－kx0)x＋3(y0－kx0)2－3＝0，由Δ＝0化简整理得(3－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0，∵x＋y＝4，∴(3－x)k2＋2x0y0＋x－3＝0.设l1，l2的斜率分别为k1，k2，∵l1，l2与椭圆只有一个公共点，∴k1，k2是方程(3－x)k2＋2x0y0k＋x－3＝0的两个根，即k1k2＝－1，∴l1，l2垂直．(ⅱ)当l1，l2其中有一条直线斜率不存在时，设l1斜率不存在．∵l1与椭圆只有一个公共点，∴其方程为x＝±，当l1方程为x＝时，此时l1与圆交于点(，±1)，∴l2方程为y＝1(或y＝－1)；显然直线l1，l2垂直；同理可证l1方程为x＝－时，直线l1，l2垂直．综上，对于圆上的任意一点A，都有l1⊥l2成立．②解 记原点到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，则△AMN的面积S＝2d1d2＝2·＝2＝＝.∵9－2x∈[1,9]，∴S∈[2，4]．∴△AMN面积的取值范围为[2，4]．4
