规范练一 三角问题1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2A＝1－cos2A.(1)求角A的值；(2)若a＝1，B＝，求b的值．解 (1)由sin2A＝1－cos2A，得·2sinAcosA＝1－(1－2sin2A)，即2sinAcosA＝2sin2A，因为0<A<π，所以sinA>0，从而有cosA＝sinA，则有cosA≠0(若cosA＝0，由上式知sinA＝0，这与A为△ABC的内角矛盾)．于是有tanA＝，又0<A<π，所以A＝.(2)由正弦定理，得＝，即b＝＝＝＝.2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角A＝sinB＝3sinC.(1)求tanC的值；(2)若a＝，求△ABC的面积．解 (1)因为A＝，所以B＋C＝，4\n故sin＝3sinC，所以cosC＋sinC＝3sinC，即cosC＝sinC，得tanC＝.(2)由＝，sinB＝3sinC，得b＝3c.在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝9c2＋c2－2×(3c)×c×＝7c2，又∵a＝，∴c＝1，b＝3，所以△ABC的面积为S＝bcsinA＝.3．已知m＝，n＝，f(x)＝m·n，且f＝.(1)求A的值；(2)设α，β∈，f(3α＋π)＝，f＝－，求cos(α＋β)的值．解 (1)f(x)＝m·n＝·＝Asin＋Acos＝2Asin，∴f＝2Asin＝2Asin＝A，又f＝，∴A＝1.(2)由(1)，得f(x)＝2sin从而f(3α＋π)＝2sin＝2cosα＝，∴cosα＝，又f＝2sin＝－2sinβ＝－，∴sinβ＝，又α，β∈，4\n∴sinα＝，cosβ＝.故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.4．已知函数f(x)＝sincos＋sin2(其中ω>0,0<φ<)．其图象的两个相邻对称中心的距离为，且过点.(1)函数f(x)的解析式；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a＝，S△ABC＝2，角C为锐角．且满足f＝，求c的值．解 (1)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋[1－cos(ωx＋φ)]＝sinωx＋φ－＋.∵两个相邻对称中心的距离为，则T＝π，∴＝π，∵ω>0，∴ω＝2，又f(x)过点.∴sin＋＝1，即sin＝，∴cosφ＝，又∵0<φ<，∴φ＝，∴f(x)＝sin＋.(2)f＝sin＋＝sinC＋＝，∴sinC＝，又∵0<C<，∴cosC＝.又a＝，S△ABC＝absinC＝××b×＝2，∴b＝6，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，4\n即c2＝5＋36－2×6×＝21，∴c＝.4
