江西省2022年高考数学二轮复习小题精做系列之数列、数学归纳法与极限2一．基础题组1.【上海市崇明县2022届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，表示数列的前项和，则 ．2.【上海市奉贤区2022届下学期高三二模数学试卷（理科）】如果函数的图像过点，________.3.【上海市奉贤区2022届下学期高三二模数学试卷（理科）】设数列，以下说法正确的是（）A．若，，则为等比数列B．若，，则为等比数列C．若，，则为等比数列D．若，，则为等比数列-22-\n【答案】C【解析】4.【上海市虹口区2022届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】等差数列的通项公式为，下列四个命题．：数列是递增数列；：数列是递增数列；：数列是递增数列；：数列是递增数列．其中真命题的是．5.【上海市虹口区2022届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】已知数列是首项为，公差为的等差数列，若数列是等比数列，则其公比为（）-22-\n6.【上海市黄浦区2022年高考模拟（二模）数学（理）试题】已知等差数列的公差为，，前项和为，则的数值是 ．7.【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2022高考模拟（理科）数学】已知首项的无穷等比数列的各项和等于4，则这个数列的公比是．8.【上海市闵行区2022届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】．二．能力题组1.【上海市长宁、嘉定区2022届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】定义函数-22-\n，其中表示不小于的最小整数，如，．当（）时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则________________．2.【上海市长宁、嘉定区2022届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】设函数的定义域为，若对于任意、，当时，恒有，则称点为函数图像的对称中心．研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为……………………（）A．B．C．D．3.【上海市崇明县2022届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】已知二次函数-22-\n同时满足：①不等式的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立．设数列的前项和为，且．规定：各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数．若令（），则数列的变号数等于．4.【上海市奉贤区2022届下学期高三二模数学试卷（理科）】以间的整数为分子，以为分母组成分数集合，其所有元素和为；以间的整数为分子，以为分母组成不属于集合的分数集合，其所有元素和为；……，依次类推以间的整数为分子，以为分母组成不属于的分数集合，其所有元素和为；则=________.【答案】【解析】试题分析：依题意可得.因为以为分母组成属于集合的元素为即.所有这些元素的和为.所以.即同理-22-\n.…..所以可得=.考点：1.数列的求和.2.估算的思想.3.分类讨论的数学思想.5.【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2022高考模拟（理科）数学】设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数.已知数列的前项和，（），则数列的变号数为.6.【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2022高考模拟（理科）数学】已知定义在上的函数满足.当时.设在上的最大值为，且数列的前项和为，则.（其中）考点：1.函数的性质.2.数列的通项.3.函数的最值.4.极限问题.7.【上海市闵行区2022届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】已知数列，对任意的，当时，；当时，-22-\n，那么该数列中的第10个2是该数列的第项．8.【上海市徐汇、金山、松江区2022届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】函数图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是--------------------（）A．B．C．D．三．拔高题组1.【上海市徐汇、金山、松江区2022届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：；为数表中第行的第个数．（1）求第2行和第3行的通项公式和；（2）证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求关于（）的表达式；（3）若，，试求一个等比数列，使得，且对于任意的，均存在实数，当-22-\n时，都有．试题解析：（1）．----（3分）-22-\n，令，则当时，都有，适合题设的一个等比数列为．------------------------------------（18分）-22-\n考点：（1）等差数列的通项公式；（2）由递推公式求通项公式；（3）数列的和与不等式综合问题．2.【上海市长宁、嘉定区2022届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】设数列，，，已知，，，，，（）．（1）求数列的通项公式；（2）求证：对任意，为定值；（3）设为数列的前项和，若对任意，都有，求实数的取值范围．试题解析：（1）因为，，所以（）， …………………（１分）所以，，-22-\n-22-\n3.【上海市崇明县2022届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】平面直角坐标系中，已知点在函数的图像上，点在直线上．（1）若点与点重合，且，求数列的通项公式；（2）证明：当时，数列中任意三项都不能构成等差数列；（3）当时，记，，设，将集合的元素按从小到大的顺序排列组成数列，写出数列的通项公式．【答案】（1）；（2）参考解析；（3）【解析】-22-\n(3)当时,设,则,且,设,,则,所以, 因为,且,所以能被整除.当时,； 当时,,所以能被整除. -22-\n4.【上海市虹口区2022届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】某市2022年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2022年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2022年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；（2）从2022年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？…………3…………【解析】试题分析：（1）由题意，数列先按等差数列进行递减，直到为零为止，是一个分段函数.数列先-22-\n……………………13分到2029年累积发放汽车牌照超过200万张．…………………………14分-22-\n考点：求数列通项5.【上海市黄浦区2022年高考模拟（二模）数学（理）试题】已知数列满足()．(1)求的值；(2)求(用含的式子表示)；(3)(理)记数列的前项和为，求(用含的式子表示)．试题解析：(1)()， -22-\n当为偶数时， ． 当为奇数时， ． 综上，有 考点：（1）数列的项；（2）数列的通项公式；（3）数列的前项和与分组求和.-22-\n6.【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2022高考模拟（理科）数学】设各项都是正整数的无穷数列满足：对任意，有．记．（1）若数列是首项，公比的等比数列，求数列的通项公式；（2）若，证明：；（3）若数列的首项，，是公差为1的等差数列．记，，问：使成立的最小正整数是否存在？并说明理由．试题解析：（1），；-22-\n7.【上海市闵行区2022届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】已知曲线的方程为，过原点作斜率为的直线和曲线相交，另一个交点记为，过作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，过作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，……，如此下去，一般地，过点作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，设点（）．（1）指出，并求与的关系式（）；-22-\n（2）求（）的通项公式，并指出点列，，…，，…向哪一点无限接近？说明理由；（3）令，数列的前项和为，设，求所有可能的乘积的和．试题解析：（1）．…………………………………………………………（1分）设，，由题意得．…………（2分）…………………（4分）-22-\n………矩阵中第行的各数和，………（15分）从而矩阵中的所有数之和为.………………（16分）所有可能的乘积的和-22-\n．………………………………………………（18分）考点：(1)直线与抛物线相交，数列的递推关系；（2）数列的通项公式；（3）分组求和.-22-
