江西省2022年高考数学二轮复习小题精做系列之数列、数学归纳法与极限1一．基础题组1.【上海市黄浦区2022届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列是公差为2的等差数列，若是和的等比中项，则=________.2.【上海市嘉定区2022届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】已知数列的前项和（），则的值是__________．3.【上海市嘉定区2022届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】若存在，则实数的取值范围是_____________．-35-\n4.【虹口区2022学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】在中，记角、、所对的边分别为、、，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边，则（）．5.【上海市浦东新区2022—2022学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】___________.6.【上海市普陀区2022届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】若圆的圆心到直线（）的距离为，则.【答案】1【解析】试题分析：圆心为，，．考点：点到直线距离公式，极限．-35-\n7.【2022学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】计算：________．8.【上海市浦东新区2022—2022学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已知数列中，，，则=___________.9.【2022学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】设正项数列的前n项和是,若和都是等差数列,且公差相等,则=_______________.【答案】【解析】试题分析：等差数列的公差为，则，，数列是等差数列，则是关于的一次函数（或者是常函数），则，，从而数列的公差是，那么有，-35-\n（舍去）或，．考点：等差数列的通项公式．10.【上海市十三校2022年高三调研考数学试卷（理科）】计算：=_________．11.【上海市十三校2022年高三调研考数学试卷（理科）】设正数数列的前项和是,若和{}都是等差数列,且公差相等,则___.12.【2022学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】计算：=.【答案】【解析】试题分析：这属于“”型极限问题，求极限的方法是分子分母同时除以（-35-\n的最高次幂），化为一般可求极限型，即．考点：“”型极限13.【2022学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】如果()那么共有项.14.【上海市杨浦区2022—2022学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】计算：．15.【上海市长宁区2022—2022第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】已知数列都是公差为1的等差数列,其首项分别为,且设则数列的前10项和等于______.【答案】【解析】试题分析：数列到底是什么暂时不知，因此我们试着把其前10项的和表示出来，-35-\n.考点：等差数列的通项公式与前和公式.二．能力题组1.【上海市黄浦区2022届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列满足，则数列的前2022项的和的值是___________．可行，由此我们可得-35-\n．考点：分组求和．2.【上海市嘉定区2022届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为的等边三角形（图（1））；二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3））；…；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、…、级分形图．则级分形图的周长为__________．图（1）图（2）图（3）……3.【虹口区2022学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知函数，且，则．【答案】【解析】试题分析：考虑到是呈周期性的数列，依次取值，故在时要分组求和，又由的定义，知-35-\n，，从而．考点：周期数列，分组求和．4.【虹口区2022学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知是各项均为正数的等比数列，且与的等比中项为2，则的最小值等于．5.【上海市长宁区2022—2022第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】数列满足，则.-35-\n6.【上海市浦东新区2022—2022学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已知函数则（）(A)2022(B)2022(C)2022(D)20227.【上海市普陀区2022届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】数列中，若，（），则.-35-\n8.【上海市普陀区2022届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】数列的前项和为，若（），则.【答案】1006【解析】试题分析：组成本题数列的通项公式中，有式子，它是呈周期性的，周期为4，因此在求和时，想象应该分组，依次4个为一组，，，，最后还剩下，，所以．考点：分组求和．9.【2022学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】若数列满足：，则前6项的和.（用数字作答）-35-\n10.【上海市十三校2022年高三调研考数学试卷（理科）】等差数列中，，记，则当____时，取得最大值.11.【上海市十三校2022年高三调研考数学试卷（理科）】已知函数，记，若是递减数列，则实数的取值范围是______________.12.【上海市十三校2022年高三调研考数学试卷（理科）】已知无穷数列具有如下-35-\n性质:①为正整数；②对于任意的正整数,当为偶数时,;当为奇数时,.在数列中，若当时，，当时，（，），则首项可取数值的个数为（用表示）三．拔高题组1.【虹口区2022学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】数列是递增的等差数列，且，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和的最小值；（3）求数列的前项和．【答案】(1)；（2）；（3）．【解析】-35-\n2.【上海市普陀区2022届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】已知数列中，，，.（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）在数列中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）若且，，求证：使得，，成等差数列的点列在某一直线上.-35-\n（2）假设在数列中存在连续三项成等差数列，不妨设连续的三项依次为，，（，），由题意得，，将，，代入上式得……7分………………8分化简得，，即，得，解得所以，存在满足条件的连续三项为，，成等比数列。……10分-35-\n3.【上海市十三校2022年高三调研考数学试卷（理科）】已知无穷数列的前项和为，且满足，其中、、是常数.（1）若，，，求数列的通项公式；（2）若，，，且，求数列的前项和；（3）试探究、、满足什么条件时，数列是公比不为的等比数列.【答案】（1）；（2）；（3），或或，．-35-\n（3）若数列是公比为的等比数列，-35-\n4.【2022学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】称满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：①；②.（1）若等比数列为阶“期待数列”，求公比q及的通项公式；（2）若一个等差数列既是阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为：（i）求证：；-35-\n（ii）若存在使，试问数列能否为n阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.【答案】（1）．或；（2）；（3）（i）证明见解析；（ii）不能，证明见解析．试题解析：（1）①若，由①得，，得，矛盾．-----------1分若，则由①=0，得，-------------3分由②得或．-35-\n所以，．数列的通项公式是或------------------------------------4分-35-\n记数列的前项和为，则由（i）知，，，而，，从而，，又，则，-------------------------16分，与不能同时成立，所以，对于有穷数列，若存在使，则数列的和数列不能为阶“期待数列”．----------------------18分考点：（1）等比数列的前和公式与通项公式；（2）等差数列的前和公式与通项公式；（3）数列综合题．5.【上海市黄浦区2022届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列-35-\n，满足，，（1）已知，求数列所满足的通项公式；（2）求数列的通项公式；（3）己知，设＝，常数,若数列是等差数列，记，求.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）这属于数列的综合问题，我们只能从已知条件出发进行推理，以向结论靠拢，由已知可得，从而当时有结论，很幸运，此式左边正好是，则此我们得到了数列的相邻两项的差，那么为了求，可以采取累加的方法（也可引进新数列）求得，注意这里有，对要另外求得；（2）有了第（1）小题，那么求就方便多了，因为，这里不再累赘不；（3）在（2）基础上有，我们只有求出才能求出，这里可利用等差数列的性质，其通项公式为的一次函数（当然也可用等差数列的定义）求出，从而得到，那么和的求法大家应该知道是乘公比错位相减法，借助已知极限可求出极限.-35-\n∴.（说明：这里也可利用，依据递推，得 ）-35-\n6.【上海市长宁区2022—2022第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】由函数确定数列，.若函数能确定数列，，则称数列是数列的“反数列”.（1）若函数确定数列的反数列为，求；（2）对（1）中的，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围；（3）设（为正整数），若数列的反数列为，与的公共项组成的数列为（公共项为正整数），求数列的前项和.-35-\n（3）当为奇数时，，.…………11分-35-\n由，则，即，因此，…………13分所以…………14分当为偶数时，，.…………15分由得，即，因此，…………17分所以…………18分考点：（1）反函数；（2）数列的单调性；（3）分类讨论，等差数列与等比数列的前项和．7.【上海市嘉定区2022届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】数列的首项为（），前项和为，且（）．设，（）．（1）求数列的通项公式；（2）当时，若对任意，恒成立，求的取值范围；（3）当时，试求三个正数，，的一组值，使得为等比数列，且，，成等差数列．-35-\n，可分类（）分别求出的范围，最后取其交集即得；（3）考查同学们的计算能力，方法是一步步求出结论，当时，，，，最后用分组求和法求出，根据等比数列的通项公式的特征一定有，再加上三个正数，，成等差数列，可求出，，，这里考的就是计算，小心计算．-35-\n（3）当时，，，-35-\n8.【上海市浦东新区2022—2022学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】设项数均为（）的数列、、前项的和分别为、、.已知集合=.（1）已知，求数列的通项公式；（2）若，试研究和时是否存在符合条件的数列对（，），并说明理由；（3）若，对于固定的，求证：符合条件的数列对（，）有偶数对.【答案】（1）；（2）时，数列、可以为（不唯一）6,12,16,14；2,8,10,4，时，数列对（，）不存在.（3）证明见解析．-35-\n【解析】6,12,16,14；2,8,10,4②16,10,8,14；12,6,2,4…………………8分-35-\n当时，此时不存在.故数列对（，）不存在.………………………………10分另证：当时，9.【2022学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】已知数列具有性质：①为整数；②对于任意的正整数，当为偶数时，；当为奇数时，.（1）若为偶数，且成等差数列，求的值；（2）设(且N)，数列的前项和为，求证：；（3）若为正整数，求证：当(N)时，都有.-35-\n故对于给定的，的最大值为-35-\n，所以．（6分）10.【上海市杨浦区2022—2022学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】设是数列的前项和，对任意都有成立，(其中、、是常数)．（1）当，，时，求；（2）当，，时，①若，，求数列的通项公式；②设数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“数列”.如果，试问：是否存在数列为“数列”，使得对任意，都有，且．若存在，求数列的首项的所有取值构成的集合；若不存在，说明理由．-35-\n（2）当，，时，，③用去代得，，④-35-\n-35-\n又，∴或或或…….17分所以，首项的所有取值构成的集合为……18分（其他解法,可根据【解】的评分标准给分）考点：(1)已知与的关系，求和；(2)等差数列的通项公式，前项和.-35-
