专题9.8直线与圆锥曲线【考纲解读】内容要求备注A B C 平面解析几何直线与椭圆位置关系 √ 1．能够把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程解的问题，会根据韦达定理及判别式解决问题．2．通过对椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想．【直击考点】题组一常识题1．过原点的直线l被抛物线x2＝4y截得的线段长为4，则直线l的斜率为________．【解析】设直线l的方程为y＝kx，将其代入抛物线方程，得x2－4kx＝0，所以被截得的线段两端点的坐标分别为(0，0)，(4k，4k2)，所以＝4，解得k＝±1.2．点P(x，y)在椭圆＋y2＝1上运动，则x＋y的最大值是________．3．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是________．【解析】由得(1－k2)x2－4kx－10＝0.设直线与双曲线的右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则解得－＜k＜－1.题组二 常错题4．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x有且仅有一个公共点，这样的直线有________条．11\n【解析】结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0；过点(0，1)且平行于x轴的直线，即直线y＝1；过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．5．已知点P(x，y)在椭圆＋y2＝1上，则x2＋y2＋2x的取值范围是__________________．题组三 常考题6．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为________．【解析】由题意可设双曲线的方程为－＝1(a>0)．易知抛物线y2＝16x的准线方程为x＝－4，联立得16－y2＝a2(*)．因为|AB|＝4，所以y＝±2，代入(*)式，得16－(±2)2＝a2，得a＝2，所以C的实轴长为2a＝4.7．设双曲线－y2＝1(a>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线渐近线的斜率为________．【解析】由题易知A1(－a，0)，A2(a，0)，不妨令B，C.因为A1B⊥A2C，所以·＝－1，即c2－a2＝，得a＝1.因为双曲线的渐近线方程为y＝±x,即y＝±x，所以渐近线的斜率为±1.8．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，过动点M(m，0)(0<m<b)的直线交y轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点．若过点P作y轴的垂线交C于另一点Q，设直线PM，QM的斜率分别为k1，k2，则是一个定值，这个定值为________．【解析】设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)．由M(m，0)，且M是线段PN的中点，可得P(2m，y0)，Q(－2m，y0)，所以直线PM的斜率k1＝＝，直线QM的斜率k2＝＝，所以＝－3.【知识清单】11\n考点1直线和圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．考点2弦长问题和中点弦问题1.弦长公式设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝·＝·|y1－y2|＝·.2．处理中点弦问题常用的求解方法(1)．点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．(2)．根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．考点3最值、范围、探索证明问题圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．【考点深度剖析】11\n作为高考热点的直线与圆锥曲线的位置关系主要体现在直线与椭圆中，所以我们必须要对直线与椭圆的位置关系熟练掌握，并适度强化．【重点难点突破】考点1直线和圆锥曲线的位置关系【1-1】过点A的直线l与抛物线y2＝2x有且只有一个公共点，这样的l的条数是．【答案】1或2或3【1-2】双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左，右两支都相交的充要条件是．【答案】－＜k＜【解析】由双曲线渐近线的几何意义知.【1-3】已知对k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是．【答案】[1,5)∪(5，＋∞)【解析】直线过定点(0,1)，只要(0,1)不在椭圆外部即可．从而，又因为椭圆中，所以的取值范围是.【1-4】已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是．【答案】[2，＋∞)【解析】过的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则其斜率为正的渐近线的倾斜角应不小于的倾斜角，已知的倾斜角是60°，从而，故.【1-5】已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点．则cos∠AFB＝．【答案】－11\n【思想方法】1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．3直线和圆锥曲线的位置关系利用代数方法判断，其中直线和双曲线的位置关系，还可以通过比较直线的斜率和渐近线斜率来判断【温馨提醒】直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．考点2弦长问题和中点弦问题【2-1】过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，线段的中点的纵坐标为2，则线段长为．【答案】【解析】∵2p=，∴P=，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AB中点M的纵坐标为2,∴y1+y2=4，而AB=AF+BF=y1++y2+=y1+y2+p=．【2-2】已知双曲线x2－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为________．【答案】0或－8【解析】设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，11\n【2-3】椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为，右焦点F与点的距离为2．(1)求椭圆的方程；(2)是否存在斜率的直线使直线与椭圆相交于不同的两点M,N满足，若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．11\n【解析】(1)依题意，设椭圆方程为，则其右焦点坐标为，由，得，即，解得．又∵，∴，即椭圆方程为．（2）方法一:由知点在线段的垂直平分线上，由消去得即（*）由,得方程(*)的,即方程(*)有两个不相等的实数根．设、，线段MN的中点，则，，，即，∴直线的斜率为，【2-4】已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是________．11\n【答案】x＋2y－8＝0【解析】设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．则＋＝1，且＋＝1，两式相减得＝－.又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以＝－，故直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.【2-5】设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值．【解】(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，【思想方法】1.11\n直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．2.涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．【温馨提醒】中点坐标公式一个作用是可以利用“设而不求”技巧解题，其二是可以将未知点坐标和已知点坐标联系起来；涉及求范围问题，注意方程不等式思想的运用．考点3最值、范围、探索证明问题【3-1】．过椭圆的左焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于四点，则四边形面积的最大值与最小值之差为．【解析】【3-2】已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是．【答案】（，）11\n【解析】设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2．由题意知r1=10，r2=2c，且r1＞r2，2r2＞r1，∴2c＜10，2c+2c＞10，＜c＜5，．∴e2==；e1=．∴=+1==>．【3-3】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是．【答案】4 【解析】设直线AB的倾斜角为θ，可得|AF|＝，|BF|＝，则|AF|·|BF|＝×＝≥4.【3-4】设点A1，A2分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，若在椭圆上存在异于点A1、A2的点P，使得PO⊥PA2，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是________．【答案】【3-5】【2022年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理】已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ)已知点B(－1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是11\n的角平分线,证明直线l过定点.【解析】(Ⅰ)设动圆圆心C的坐标为（x,y）则所以，所求动圆圆心的轨迹C的方程为（）(Ⅱ)证明：设直线l方程为，联立得（其中）设,若x轴是的角平分线，则【思想方法】1.求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．2.探索性问题和证明往往会涉及到定点、定值问题，可以通过特例找寻定点、定值，然后利用逻辑推理的方法去证明．【温馨提醒】圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法．【易错试题常警惕】[失误与防范]判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．11
