专题9.1直线的方程【考纲解读】内容要求备注A B C 平面解析几何初步 直线的斜率和倾斜角 √ 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．掌握确定直线位置的几何要素．3．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．直线方程 √ 【直击考点】题组一常识题1．已知直线l经过A(－cosθ，sin2θ)，B(0，1)不同的两点，直线l的斜率为____________，倾斜角的取值范围是____________．2．直线l的倾斜角α＝60°，且过点(，1)，则直线l的方程为____________．【解析】因为α＝60°，所以k＝tanα＝.又直线l过点(，1)，所以直线l的方程为y－1＝(x－)，即y＝x－2.3．直线的斜率为2，在x轴上的截距为－1，则直线的斜截式方程为__________________．【解析】直线过点(－1，0)，斜率为2，由点斜式方程得y－0＝2(x＋1)，即y＝2x＋2.题组二 常错题4．当a＝3时，直线ax＋(a－3)y－1＝0的倾斜角为____________．【解析】当a＝3时，直线ax＋(a－3)y－1＝0可化为3x－1＝0，其倾斜角为90°.5．直线l经过点(5，10)，且原点到直线l的距离是5，则直线l的方程为__________________．【解析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝5；当直线l的斜率存在时，设其为k，则直线l的方程为y－10＝k(x－5)，由点到直线的距离公式可得k＝，故直线l的方程为3x－4y＋25＝0.6．过点P(－1，2)且在两轴上的截距相等的直线方程为____________________．9\n题组三 常考题7．过A(1，2)，B(2，1)两点的直线的斜率为______________．【解析】kAB＝＝－1.8．过原点且斜率为的直线方程为______________．【解析】利用点斜式可得直线方程为y＝x.【知识清单】考点1直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角①定义．当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴的正方向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.②范围：倾斜角的范围为．2．直线的斜率①定义．一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线与x轴平行或重合时,,.②过两点的直线的斜率公式．经过两点的直线的斜率公式为.3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．4.直线的倾斜角、斜率k之间的大小变化关系：（1）当时，越大，斜率越大；（2）当时，越大，斜率越大.考点2直线的方程1.直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为，则直线的方程为：.这个方程就叫做直线点斜式方程.9\n特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线的斜截式方程.2.直线的两点式方程直线过两点其中，则直线的方程为：.这个方程叫做直线的两点式方程.当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：.特别地，若直线过两点，则直线的方程为：，这个方程叫做直线的截距式方程.3.直线的一般式方程关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程.由一般式方程可得，B不为0时，斜率，截距【考点深度剖析】直线是解析几何中最基本的内容，对直线的考查一是在选择题、填空题中考查直线的倾斜角、斜率、直线的方程等基本知识，二是在解答题中与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识进行综合考查．【重点难点突破】考点1直线的倾斜角与斜率【1-1】经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝.【答案】－3【解析】由＝，得.【1-2】经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角的取值范围分别为________，________.【答案】，∪.9\n【思想方法】1.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y＝tanx的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制；2.求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y＝tanx的单调性求k的范围．【温馨提醒】若斜率k是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围．考点2直线的方程【2-1】三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程．9\n【答案】，，9\n整理得：.这就是直线的方程．【2-2】已知点A（-3，-1），B（1，5），直线过线段AB的中点，且在轴上的截距是它在轴上的截距的2倍.求直线的方程．【答案】9\n【2-3】(1)直线恒过一定点，则此定点为.(2)直线过点，且分别交轴，轴的正半轴于A,B两点.求三角形OAB的面积最小值及此时直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）法一、直线可变形为：.这是直线的点斜式方程，由这个方程可知．直线恒过点.法二、直线可变形为：.若该方程对任意都成立，则，即，所以直线恒过点.法三、在方程中，令得：即；令得：，将代入得.将代入得恒成立，所以直线恒过点.（2）由题设知，直线不可能与轴垂直，即直线的斜率必存在.设直线的斜率为，则其点斜式的方程为9\n【思想方法】求直线方程的常用方法有1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．3.直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．【温馨提醒】涉及直线在两坐标轴上截距相等问题，要特别注意截距均为的情况；另外，某些涉及直线问题中，往往要讨论直线的斜率是否存在的情况，也应特别注意.【易错试题常警惕】求直线方程忽视零截距致误典例 (12分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．易错分析 本题易错点求直线方程时，漏掉直线过原点的情况．规范解答解 (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.[2分]当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.∴＝a－2，即a＋1＝1.[4分]∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.[6分]9\n[失误与防范]与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点：(1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．9
