专题9.1直线与直线的方程【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测直线与方程（1）理解平面直角坐标系，理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握直线方程的点斜式、两点式及一般式，了解直线方程与一次函数的关系.（2）会求过两点的直线斜率.2022•浙江文.21;理.15,21,22;2022•浙江理.19;2022•浙江理.19;2022•浙江.21.1.考查直线的斜率与倾斜角；2.考查直线方程的几种形式．3.与其它知识（如充要条件、导数的几何意义等）相结合，考查直线与方程的应用.4.备考重点：(1)理解直线的斜率与倾斜角的关系，掌握直线的斜率与倾斜角的求法；(2)掌握直线方程的几种形式，特别是点斜式.【知识清单】1.直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角①定义．当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴的正方向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.②范围：倾斜角的范围为．2．直线的斜率①定义．一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线与x轴平行或重合时,,.②过两点的直线的斜率公式．经过两点的直线的斜率公式为.3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．9\n4.直线的倾斜角、斜率k之间的大小变化关系：（1）当时，越大，斜率越大；（2）当时，越大，斜率越大.对点练习：【2022届重庆市一中高三上学期期中】已知直线方程为则直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】C2.直线的方程1.直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为，则直线的方程为：.这个方程就叫做直线点斜式方程.特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线的斜截式方程.2.直线的两点式方程直线过两点其中，则直线的方程为：.这个方程叫做直线的两点式方程.当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：.9\n特别地，若直线过两点，则直线的方程为：，这个方程叫做直线的截距式方程.3.直线的一般式方程关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程.由一般式方程可得，B不为0时，斜率，截距.对点练习：【2022届黑龙江省伊春市第二中学高三上学期第一次月考】已知直线经过点，且斜率为，则直线的方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】直线经过点，且斜率为，则即故选A【考点深度剖析】高考对直线方程的考查要求较低，以小题的形式考查直线与方程，一般难度不大，但呈现综合性较强的趋势，与充要条件、基本不等式、导数、圆、圆锥曲线等相结合.较多年份在大题中与其它知识综合考查.要求考生熟练掌握直线方程的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查直线的斜率与倾斜角，二是考查直线方程的几种形式．【重点难点突破】考点1直线的倾斜角与斜率【1-1】经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝( )A.－1B.－3C.0D.2【答案】【1-2】【2022届河北武邑中学高三周考】过点和的直线的斜率为1，则实数的值为（）9\nA．1B．2C．1或4D．1或2【答案】A【解析】依题意有．【领悟技法】1.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y＝tanx的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制；2.求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y＝tanx的单调性求k的范围．【触类旁通】【变式一】坐标平面内有相异两点，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是A．B．C．D．【答案】【解析】，且.设直线的倾斜角为，当时，则，所以倾斜角的范围为.当时，则，所以倾斜角的范围为.【变式二】已知两点，直线过点且与线段相交，直线的斜率的取值范围是.【答案】9\n【综合点评】1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标，则直接利用斜率公式求斜率；若条件中给出一条直线，则求出直线上的两点的坐标，然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角，则先求出直线的斜率，再利用求倾斜角.2.求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率k是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围．考点2直线的方程【2-1】【2022届河北武邑中学高三周考】已知等边的两个顶点，且第三个顶点在第四象限，则边所在的直线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图所示，直线额倾斜角为，故斜率为，由点斜式得直线方程为.9\n【2-2】已知点A（-3，-1），B（1，5），直线过线段AB的中点，且在轴上的截距是它在轴上的截距的2倍.求直线的方程．【答案】【领悟技法】求直线方程的常用方法有1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．3.直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离．【触类旁通】【变式一】直线过点，若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.【答案】或.9\n【变式二】将直线绕点按逆时针方向旋转，求所得直线的方程.【答案】【解析】直线的倾斜角为，点直线上，绕点按逆时针方向旋转，所得直线的倾斜角为，其斜率为，所以由点斜式方程得，.即为所求.【综合点评】求直线的方程有以下两种常用的方法：直接法和待定系数法.直接法就是利用方程的形式直接写出直线的方程；待定系数法是用字母表示某些量，把方程设出来，然后再根据题设把这些量求出来，从而得到直线的方程的方法.【易错试题常警惕】易错典例：设直线l的方程为．(1)若在两坐标轴上截距相等，求的方程；(2)若不经过第二象限，求实数的取值范围．易错分析：易忽视截距均为的情况而失解．正确解析：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴，方程即为.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0，∴＝，即方程即为.综上，的方程为.(2)将的方程化为∴或,综上可知的取值范围是．温馨提醒：涉及直线在两坐标轴上截距相等问题，要特别注意截距均为的情况；另外，某些涉及直线问题中，往往要讨论直线的斜率是否存在的情况，也应特别注意.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”9\n两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.在解答三视图、直观图问题中，主要是通过图形的恰当转化，明确几何元素的数量关系，进行准确的计算．如：【典例】【2022届河北武邑中学高三周考】已知方程．（1）求该方程表示一条直线的条件；（2）当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；（3）已知方程表示的直线在轴上的截距为-3，求实数的值；（4）若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数的值．【答案】（1）；（2），；（3）；（4）.【解析】试题分析：（1）当的系数不同时为零时，方程表示一条直线，分别令，，解得时同时为零，故；（2）斜率不存在，即，解得；（3）依题意，有，解得；（4）依题意有，解得.试题解析：9\n（2）由（1）易知，当时，方程表示的直线的斜率不存在，此时的方程为，它表示一条垂直于轴的直线．（3）依题意，有，所以，所以或，由（1）知所求．（4）因为直线的倾斜角是45°，所以斜率为1，故由，解得或（舍去）．所以直线的倾斜角为45°时，．9
