专题9.8直线与圆锥曲线一、填空题1．(2022·苏州调研)若直线l1：y＝x＋a和直线l2：y＝x＋b将圆(x－1)2＋(y－2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.【答案】182．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y2＝1与抛物线y2＝－12x有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为________．【答案】y＝±x【解析】抛物线y2＝－12x的焦点(－3,0)是双曲线－y2＝1的一个焦点，则a2＋1＝9，a2＝8，则双曲线的两条渐近线方程为y＝±x＝±x.二、解答题3．(2022·徐州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点P在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程；(2)若点M，N是椭圆C上的两点，且四边形POMN是平行四边形，求点M，N的坐标．解 (1)由题意知＋＝1,2a＝4，解得a2＝4，b2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1.8\n4．已知椭圆C：＋＝1过点A(2,0)，B(0,1)两点．(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．(1)解 由题意知a＝2，b＝1.所以椭圆方程为＋y2＝1，又c＝＝.所以椭圆离心率e＝＝.(2)证明 设P点坐标为(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x＋4y＝4，由B点坐标(0,1)得直线PB方程为：y－1＝(x－0)，令y＝0，得xN＝，从而AN＝2－xN＝2＋，8\n由A点坐标(2,0)得直线PA方程为y－0＝(x－2)，令x＝0，得yM＝，从而BM＝1－yM＝1＋，所以S四边形ABNM＝AN·BM＝＝＝＝2.即四边形ABNM的面积为定值2.5．(2022·苏北四市联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)过点(0，1)，P为椭圆上一点，椭圆在点P处的切线与直线x＝c和右准线x＝2分别交于点M，N.(1)求椭圆的方程；(2)F为椭圆的焦点，当点P在椭圆上移动时，请问的值是否为定值，并说明理由．8\n故切线方程为y－y0＝－(x－x0)，即＋y0y＝1.6．(2022·苏、锡、常、镇、宿迁五市调研)如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，点M在PF1上，且满足＝λ(λ∈R)，PO⊥F2M，O为坐标原点．8\n(1)若椭圆方程为＋＝1，且P(2，)，求点M的横坐标；(2)若λ＝2，求椭圆离心率e的取值范围．解 (1)∵＋＝1，∴F1(－2,0)，F2(2,0)，又P(2，)，∴kOP＝，kF1M＝，∵PO⊥F2M，∴kF2M＝－，∴直线F2M的方程为y＝－(x－2)，直线F1M的方程为y＝(x＋2)，由解得x＝，∴点M的横坐标为.(2)由题知0<e<1，F1(－c,0)，F2(c,0)．设P(x0，y0)，M(xM，yM)，8\n7．(2022·盐城模拟)如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点为A(0,1)，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若过点A作圆M：(x＋1)2＋y2＝r2(0<r<1)的两条切线分别与椭圆C相交于点B，D(不同于点A)．当r变化时，试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．解 (1)由已知可得解得a＝2，b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)直线BD过定点．设切线方程为y＝kx＋1，则＝r，8\n即(1－r2)k2－2k＋1－r2＝0，8．(2022·南京、盐城模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M(x0，y0)是椭圆C：＋y2＝1上一点，从原点O向圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2.(1)若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；(2)若r＝.①求证：k1k2＝－；②求OP·OQ的最大值．解 (1)由题意可知c＝＝＝，则椭圆C右焦点的坐标为(，0)，因为圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，且点M是椭圆上一点，所以圆心M的坐标为，半径为，8\n所以圆M的方程为(x－)2＋2＝或(x－)2＋2＝.(2)①证明 因为圆M与直线OP：y＝k1x相切，8
