第八节直线与圆锥曲线的位置关系班级__________姓名_____________学号___________得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的．）1.【2022届广雅中学、东华中学、河南名校高三上第一次联考】已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在左准线上，若，且直线的斜率，则的面积为（）A.B.C.D.【答案】C2.【2022届河南百校联盟高三9月质监乙卷】已知抛物线上一点到焦点的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且，则点到原点的距离为（）A．3B．C．4D．【答案】B【解析】设，则，所以，到原点的距离为，选B．3.【2022届河南息县第一高级中学高三上阶段测三】设抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，若的面积为2，则点的坐标为（）A．或B．或C．D．【答案】A19\n【解析】依题意，设，则，面积为，故选A．4.【2022届河南省中原名校（即豫南九校）高三上第二次考评】直线与椭圆（）相交于两点，，线段的中点为，则椭圆的离心率是（）A.B.C.D.【答案】A5.【2022届上海市交通大学附属中学高三上学期开学】已知椭圆，直线，点，直线交椭圆于两点，则的值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】设点的坐标分别为，由椭圆的定义可知，椭圆的右焦点，此时直线经过点，可得，，所以联立方程组，得，所以，19\n代入上式可得，故选B.6.【2022届河南百校联盟高三9月质监乙卷】已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（）A．B．C．D．1【答案】C7.【2022届广东省珠海市高三9月摸底】已知抛物线C：y2=4x，过点P(-2，0)作直线l与C交于AB两点，直线l的斜率为k，则k的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意易知：直线的斜率存在.设直线l的方程为：，带入y2=4x得到：,显然时，不适合题意；当时，,,又所以故选：Ａ8.【2022届海南省（海南中学、文昌中学、海口市第一中学、农垦中学）等八校高三上学期新起点】19\n直线过点且与双曲线交于两点，若线段的中点恰好为点，则直线的斜率为()A.B.C.D.【答案】D9.【2022届河南省安阳市第三十五中学高三上学期开学】设为抛物线的焦点，过且倾斜角为60°的直线交曲线于两点（点在第一象限，点在第四象限），为坐标原点，过作的准线的垂线，垂足为，则与的比为（）A.B.2C.3D.4【答案】C【解析】抛物线的焦点，准线为，设直线，联立抛物线方程，消去，可得设，则，由则，19\n即有.故选C.10.【2022届山东省济宁市高三3月模拟】已知双曲线（，）的左、右焦点分别为、，焦距为，抛物线的准线交双曲线左支于，两点，且（为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A11.已知抛物线与点，过的焦点且斜率为的直线与交于两点，若，则（）A．B．C．D．2【答案】D【解析】由题意知抛物线C的焦点坐标为（2,0），则直线AB的方程为，将其代入，得.19\n设，则，.①由∵，∴.∴，即.④由①②③④解得k=2.故选D.12.【2022届浙江省杭州市高三4月】设倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，设点在轴上方，点在轴下方.若，则的值为（）A.B.C.D.【答案】A19\n二、填空题13.【2022届河南省中原名校（即豫南九校）高三上第二次考评】直线与抛物线交于两不同点，.其中，，若，则直线恒过点的坐标是__________．【答案】14.【2022届江苏省如皋市高三下联考二】已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于，两点．若的周长为，则椭圆的方程为____．【答案】【解析】椭圆的离心率为,则a=2c,b=c，设P(x1,y1),Q(x2,y2)，19\n∴|PF2|2=(x1−c)2+y21=(x1−4c)2，∴|PF2|=2c−x1，连接OM，OP，由相切条件知：|PM|2=|OP|2−|OM|2=x21+y21−3c2=x21，∴|PM|=x1，∴|PF2|+|PM|=2c，同理可求|QF2|+|QM|=2c，∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=4c.∵△PF2Q的周长为4，∴c=1，∴a=2,b=，∴椭圆C的方程为.15.【2022届安徽省巢湖市柘皋中学高三上第二次月考】已知椭圆与圆M：，过椭圆的上顶点做圆的两条切线分别与椭圆相交于；两点（不同于点），则直线与直线的斜率之积等于__________.【答案】116.【2022届河南省漯河市高级中学高三上期中】已知椭圆是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，则的取值范围是__________．（用表示）19\n【答案】，可得且，即答案为．三、解答题17.【浙江省金华、丽水、衢州市十二校2022届高三8月联考】已知椭圆的离心率为，为圆上任意一点，过作椭圆的切线，，设切点分别为，．（1）证明：切线的方程为；（2）设为坐标原点，求面积的最大值．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）由题意，，解得，．．．．．．．．．．．．．．．．2分19\n①当时，，直线，∴，代入椭圆方程得到，∴切线的方程是．②当时，联立，消，得到，即，．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分∴∴切线的方程为；．．．．．．．．．．．．．．．8分∴，．．．．．．．．．．．．．．．．11分又∵原点到直线的距离，∴，．．．．．．．13分19\n又∵为圆上任意一点，∴，∴，令，则在上单调递减，∴.．．．．．．．．．．．．．．15分18.【2022年浙江省源清中学高三9月月考】已知抛物线顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为3，线段的两端点，在抛物线上.（1）求抛物线的方程；（2）若轴上存在一点，使线段经过点时，以为直径的圆经过原点，求的值；（3）在抛物线上存在点，满足，若是以角为直角的等腰直角三角形，求面积的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）最小值为16.（3）设，，，根据抛物线关于轴对称，取，记，，则有，，所以，，，由，即，进而化简求出，得：，，即可求得△ABD面积的最小值．试题解析：（1）设抛物线的方程为，抛物线的焦点为，则，所以，则抛物线的方程为.19\n（2）设直线的方程为，要使以为直径的圆经过原点，则只需即可，联立方程，则，，，解得：.（3）如图所示，设，，，根据抛物线关于轴对称，取，记，，则有，，所以，，，又因为是以为顶点的等腰直角三角形，所以，即，将代入得：进而化简求出，得：，则，可以先求的最小值即可，，令，则19\n，所以可以得出当即时，最小值为，此时，即当，，时，为等腰直角三角形，且此时面积最小，最小值为16.19．【2022届浙江省ZDB联盟高三一模】设椭圆：的离心率，原点到点、所在直线的距离为.（1）求此椭圆的方程；（2）如图，设直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为，直线与轴是否交于一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）19\n，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简可得试题解析：（1）由于，，，直线的方程为，原点到直线的距离为，解得：，，椭圆方程为.（2）联立，则.设，，，.直线的方程为，令，则即直线与轴交于定点.19\n20.【2022届广雅中学、东华中学、河南名校高三上学期第一次联考】已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，是椭圆的左顶点，是椭圆的右焦点，点都在椭圆上.（1）若点在椭圆上，求的最大值；（2）若为坐标原点），求直线的斜率.【答案】（1）5；（2）.解得，故，设，则，故当时，有最大值为5.（2）由（1）知，，所以椭圆的方程为，即，设直线的方程为，由，得，因为，所以，因为，所以直线的方程为，由，得，所以或，得，19\n因为，所以，于是，即，所以，所以直线的斜率为.21.【2022届广西柳州市高三上学期摸底】已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且.（1）求该抛物线的方程；（2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.【答案】（1）（2）联立方程组，消元得:，∴.∴解得.∴抛物线的方程为：.（2）由（1）可得点，可得直线的斜率不为0，设直线的方程为：，19\n联立，得，则①.设，则.∵即，得：，∴，即或，代人①式检验均满足，∴直线的方程为：或.∴直线过定点（定点不满足题意，故舍去）.22.59．【2022届浙江省杭州高级中学高三2月模拟】如图,焦点在轴的椭圆，离心率，且过点，由椭圆上异于点的点发出的光线射到点处被直线反射后交椭圆于点(点与点不重合).（1）求椭圆标准方程；（2）求证：直线的斜率为定值；（3）求的面积的最大值.19\n【答案】（1）（2）详见解析（3）值试题解析：（1）设椭圆方程为，，椭圆经过点椭圆方程为（2）设直线方程为，则直线的方程为由可得，设，由可得，同理可得19\n（3）由（2），设的方程为．由联立得：令，得，设，则，设原点到直线的距离为，则，当时，面积的最大值为19
