专题8.1空间几何体的表面积与体积【考纲解读】内容要求备注A B C 空间几何体 柱、锥、台、球及其简单组合体 √ 1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征．能正确描述现实生活中简单物体的结构．2．了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．(不要求记忆台体的体积公式)柱、锥、台、球的表面积与体积 √ 【知识清单】考点1几何体的表面积圆柱的侧面积圆柱的表面积圆锥的侧面积圆锥的表面积圆台的侧面积圆台的表面积球体的表面积柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.考点2几何体的体积圆柱的体积圆锥的体积圆台的体积球体的体积正方体的体积正方体的体积4\n【考点深度剖析】柱、锥、台、球等简单几何体的面积与体积(尤其是体积)是高考热点．【重点难点突破】考点1几何体的表面积【1-1】【苏州市2022届高三调研测试】若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为▲．【答案】【1-2】【2022·江苏高考】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则四棱锥A BB1D1D的体积为________cm3.【答案】6【解析】由题意得VA－BB1D1D＝VABD－A1B1D1＝××3×3×2＝6cm2.【思想方法】多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．【温馨提醒】多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理；圆锥、圆柱、圆台的侧面是曲面，计算侧面积或长度时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.(1)找准几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)注意组合体的表面积问题中重合部分的处理．考点2几何体的体积【2-1】【江苏省南京市2022届高三9月学情调研】若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为.【答案】.【2-2】【苏州市2022届高三暑假自主学习测试】如图，在直四棱柱中，点分别在上，且，，点到的距离之比为，则三棱锥4\n和的体积比.【答案】【解析】点到的距离之比为，所以，又直四棱柱中，，，所以，于是.【2-3】【江苏省诚贤中学2022届高三数学月考试题】正三棱锥中，，，分别是棱上的点，为边的中点，，则三角形的面为 ．【答案】【解析】【思想方法】若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．【温馨提醒】(1)计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高．(2)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们4\n是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．(3)注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征．考点3几何体的展开、折叠、切、截问题【3-1】(2022·南通期末)正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，则四面体A B1CD1的外接球的体积为________．【答案】36π【解析】四面体A B1CD1的外接球即为正方体ABCD A1B1C1D1的外接球，故正方体的外接球的直径为＝6，故V＝πR3＝π×(6÷2)3＝36π.【3-2】如图所示，已知三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1 ABC1的体积为________．【答案】【解析】三棱锥B1 ABC1的体积等于三棱锥A B1BC1的体积，三棱锥A B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝.【思想方法】解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．【温馨提醒】简单几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类简单几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧、把一个简单几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧、对旋转体作其轴截面的技巧、通过方程或方程组求解的技巧等，这是化解简单几何体面积和体积计算难点的关键．【易错试题常警惕】求空间几何体的表面积应注意的问题(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．4
