第02节空间几何体的表面积与体积【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测空间几何体的表面积与体积会计算柱、锥、台、球的表面积和体积.2022•浙江文5；理12;2022•浙江文3；理3；2022•浙江文2；理2；;2022•浙江文9；理11,14;2022•浙江3.1.以结合三视图、几何体的结构特征考查几何体的面积体积计算为主，题型基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；也有几何体的面积或体积在解答题中与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况.2.与立体几何相关的“数学文化”等相结合，考查数学应用.3.备考重点：(1)掌握三视图与直观图的相互转换方法是关键；(2)掌握等积转换的方法.【知识清单】1．几何体的表面积圆柱的侧面积圆柱的表面积圆锥的侧面积圆锥的表面积圆台的侧面积圆台的表面积球体的表面积柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.-18-\n对点练习：【浙江省金华十校联考】在正三棱锥中，是的中点，且，底面边长，则正三棱锥的体积为__________，其外接球的表面积为__________．【答案】，2.几何体的体积圆柱的体积圆锥的体积圆台的体积球体的体积正方体的体积正方体的体积对点练习：【2022课标II，文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】-18-\n【考点深度剖析】几何体的表面积与体积与三视图结合是主要命题形式，一般都是容易题.有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，有时结合面积、体积的计算考查等积变换等转化思想．【重点难点突破】考点1几何体的表面积【1-1】【2022届浙江省ZDB联盟高三一模】已知等腰中，，分别为的中点，沿将折成直二面角（如图），则四棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】【解析】由题意得四点共圆，设圆心为O，则半径为，O到直线DE距离为因为,所以O为外接球的球心，半径为，因此外接球的表面积为【2022高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）-18-\n（A）（B）（C）（D）【答案】C【1-2】三棱锥中，平面，，是边长为的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，是的中心，是外接球球心，则平面，，由已知，则，所以．故选C．【1-3】【2022高考新课标3理数】如图，网格纸上小正方形的边长-18-\n为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A）（B）（C）90（D）81【答案】B【领悟技法】以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．【触类旁通】【变式1】【2022届河南省洛阳市高三期中】在三棱锥中，底面是直角三角形，其斜边，平面，且，则三棱锥的外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】根据已知，可将三棱锥补成一个长方体，如下图：-18-\n则三棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，由于，且是直角三角形，平面，长方体的对角线长为，三棱锥的外接球的半径，三棱锥的外接球的表面积为，故选A.【变式2】某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为()A．B．C．D．【答案】D-18-\n【变式3】已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥外接球表面积等于( )A．8π B．16πC．48π D．50π【答案】综合点评：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.考点2几何体的体积【2-1】【2022浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是-18-\nA．B．C．D．【答案】A【2-2】【2022山东，文13】由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为.【答案】-18-\n【2-3】【广东省广州市普通高中毕业班综合测试一】一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是.【答案】.【领悟技法】(1)已知几何体的三视图求其体积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表体积公式求其体积.(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．【触类旁通】【变式1】【2022届广东省广州高三一模】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（）．A.B.C.D.【答案】C-18-\n【变式2】【2022届浙江省杭州高级中学高三2月模拟】已知空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是__________；几何体的体积是__________.【答案】【解析】根据三视图可知几何体是组合体：后面是直三棱柱、前面是半个圆柱，且圆柱的底面圆半径是2，母线长是2，三棱柱的底面是直角三角形：直角边分别是4、3，斜边是5，三棱柱的高是2，∴该几何体的表面积，该几何体的体积.综合点评：求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利-18-\n用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.考点3几何体的展开、折叠、切、截问题【3-1】【2022课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A．B．C．D．【答案】B【3-2】【2022届河南省漯河市高级中学高三上第二次模拟】四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB=2，BC=CD=1，∠BCD=60∘，AB⊥平面BCD，则球O的表面积为（）A.8πB.823πC.833πD.16π3-18-\n【答案】D【解析】如图，【3-3】【2022届福建省数学基地校】已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由得.∴正三棱柱的高.设其底面边长为，则.∴.∴,选D.【3-4】【2022届河南省林州市第一中学高三8月调研】如图，已知矩形中，，现沿折起，使得平面平面，连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为（）-18-\nA.B.C.D.【答案】D【领悟技法】解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．【触类旁通】【变式1】【湖南卷】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A.1B.2C.3D.4-18-\n【答案】B【变式2】正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因底面边长为,故底面中心到顶点的距离是,即球的截面圆的半径为,所以,其表面积为,故应选B.【变式3】【2022届河北省衡水市武邑中学高三上第三次调研】在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bienao).已知在鳖臑中,平面,,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为____．【答案】【解析】由题意，MC为球O的直径，MC=2，∴球O的半径为，∴球O的表面积为4π•3=12π，内切球的半径设为ｒ，-18-\n得到内切球的体积为，故结果为.【变式4】【2022课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.【答案】【解析】-18-\n【易错试题常警惕】易错典例：有一棱长为的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为__________.错解：依题意，球最大时为正方体的内切球，所以球的直径为，球的表面积为.错因：这里学生未能弄清正方体骨架是一个空架子，球最大时与正方体的各棱相切，直径应为.正解：正方体骨架是一个空架子，球最大时与正方体的各棱相切，直径应为.所以气球表面积的最大值为.温馨提醒：1.台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行.2.同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同.3.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”.在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线.4.对于求解简单的组合体的表面积，要注意各几何体重叠部分的处理.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想-18-\n数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.在解答几何体体积、表面积计算问题中，主要是通过图形的恰当转化，明确几何元素的数量关系，进行准确的计算．如：【典例】已知中，，将沿折起，使变到，使平面平面．（1）试在线段上确定一点，使平面；（2）试求三棱锥的外接球的半径与三棱锥的表面积．【答案】（1）点为的靠近点的三等分点（2）-18-\n试题解析：（1）∵，∴，在上取点，使，连接，再在上取点，使，连接，可知，，且，可知，且，所以四边形为平行四边形，平面，∴平面，故点为的靠近点的三等分点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）可知，，设三棱锥的外接球半径为，可知，，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分三棱锥的表面积为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分-18-
