第02节空间几何体的表面积与体积班级__________姓名_____________学号___________得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。）1.【2022课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10B．12C．14D．16【答案】B【解析】2.【2022陕西质检二】某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．B．C．D．-15-\n【答案】B【解析】由三视图所提供的信息可知该几何体是一个圆台和圆柱的组合体,故其体积,应选B.3．【2022届南宁市高三联考】三棱锥P-ABC中，ΔABC为等边三角形，PA=PB=PC=3，PA⊥PB，三棱锥P-ABC的外接球的体积为（）A.272πB.2732πC.273πD.27π【答案】B4.【2022届广雅中学、东华中学、河南名校高三上第一次联考】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.24π+83B.8π+8C.32π+83D.32π+243-15-\n【答案】A【解析】根据三视图可知，几何体是34个球与一个直三棱锥的组合体，球的半径为2，三棱锥底面是等腰直角三角形，面积为s=12×22×22=4，高为2，所以三棱锥的体积v=13×4×2=83，故组合体的体积V=34×43π×23+83=24π+83,故选A.5.【2022届广东省茂名市高三五大联盟学校9月联考】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=1，AB=2，AA1=2，点M在平面ACB1内运动，则线段BM的最小值为()A.62B.6C.63D.3【答案】C6.【河北省邯郸市高三上学期第二次模拟】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．B．C．D．【答案】D【解析】由三视图还原图像，得原图是两个一样的圆锥底面对在一起了，所以.7.【2022届贵州省黔东南州高三上第一次联考】在中，（如下图），若将绕直线-15-\n旋转一周，则形成的旋转体的体积是（）A.B.C.D.【答案】D故选：D．8.【广东省韶关市高三调研】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．B．C．D．21133正视图侧视图俯视图21-15-\n【答案】C【解析】由三视图易知，该几何体是底面积为，高为3的三棱锥，由锥体的体积公式得.选C9.【2022年福建省数学基地校】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式，相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）A.B.C.D.【答案】B10.【2022高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）-15-\n（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】由三视图可知,上面是半径为的半球,体积为,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积,故选C.11.【2022届四川省成都市龙泉第二中学高三10月月考】已知是球球面上的四点，是正三角形，三棱锥的体积为，且，则球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】12.【2022届河南省中原名校（即豫南九校）高三上第二次联考】一棱长为6的正四面体内部有一个可以任意旋转的正方体，当正方体的棱长取最大值时，正方体的外接球的表面积是（）-15-\nA.4πB.6πC.12πD.24π【答案】B【解析】设球的半径为：r，由正四面体的体积得：4×13×r×34×62=13×34×62×62-23×32×62,所以r=62，设正方体的最大棱长为a，∴3a2=62∴a=2,外接球的面积为4πr2=6π故选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。）13.【2022天津，理10】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为.【答案】14.【2022届浙江省名校协作体高三下学期模拟】某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3cm3，则正视图中的x的值是_______cm，该几何体的表面积是_______cm2.【答案】253+37+42【解析】由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，其直观图如图所示，由棱锥的体积公式得，13×12×(1+2)×3x=3⇒x=2，侧面ADS,CDS,ABS为直角三角形，侧面BCS是以BC为底的等腰三角形，所以该几何体的表面积为-15-\nS=12[(1+2)×3+2×2+3×2+1×7+2×7]=53+37+42.三棱柱各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，，，，则这个球的表面积为 ．【答案】15.已知直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱柱外接球表面积的最小值为．【答案】【解析】根据题意，设，则有，从而有其外接球的半径为，所以其比表面积的最小值为.16.【2022届云南省昆明一中高三第一次摸底】体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为线段的中点，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是_________．【答案】【解析】设，则，体积为的正三棱锥-15-\n的每个顶点都在半径为的球的球面上，，得，由，得或（舍去），，由题意知点为线段的中点，从而在中，，解得，当截面垂直于时，截面圆的半径为，故截面圆面积最小值为，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分10分）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．（Ⅰ）求该几何体的体积V；（Ⅱ）求该几何体的侧面积S.【答案】（Ⅰ）64；（Ⅱ）.18.（本题满分12分）【2022年福建省数学基地校】如图，直四棱柱中，四边形为梯形，，且.过三点的平面记为，与的交点为.-15-\n(I)证明：为的中点；(II)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比.【答案】(1)见解析;(2).(I)证明：延长交于，则平面，又平面，平面平面，所以因为所以，即为的中点．(II)如图所示，连接.设，梯形的高为，四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为和，，则.三棱椎，四棱椎所以＝三棱椎+四棱椎=.又四棱柱，-15-\n所以＝四棱柱－，故.19.（本题满分12分）【2022届衡水金卷全国高三大联考】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，点D为AB的中点.（1）证明：AC1∥平面B1CD；（2）求三棱锥A1-CDB1的体积.【答案】（1）见解析；（2）43.试题解析：（1）连接BC1交B1C于点O，连接OD.在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BCC1B1是平行四边形.∴点O是BC1的中点.∵点D为AB的中点，∴OD∥AC1.-15-\n又OD⊂平面B1CD，AC1⊄平面B1CD，∴AC1∥平面B1CD.（2）∵AC=BC，AD=BD，∴CD⊥AB.在三棱柱ABC-A1B1C1中，由AA1⊥平面ABC，得平面ABB1A1⊥平面ABC.又平面ABB1A1∩平面ABC=AB.∴CD⊥平面ABB1A1.∴点C到平面A1DB1的距离为CD，且CD=ACsinπ4=2.∴VA1-CDB1=VC-A1DB1=13SΔA1DB1×CD=13×12×A1B1×AA1×CD=16×22×2×2=43.20．（本题满分12分）【2022届广东省茂名市高三五大联盟学校9月联考】如图，在多面体ABCDFE中，四边形ADFE是正方形，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=1，BC=2，G为BC中点，平面ADFE⊥平面ADCB.(1)证明：AC⊥BE；(2)求三棱锥A-GFC的体积.【答案】（1）见解析；（2）312.（1）证明：连接DG，因为AD=GC，AD∥GC，-15-\n所以四边形ADCG为平行四边形，又AD=CD，所以四边形ADCG为菱形，从而AC⊥DG，同理可证AB∥DG，因此AC⊥AB，由于四边形ADFE为正方形，所以EA⊥AD，又平面ADFE⊥平面ABCD，平面ADFE∩平面ABCD=AD，故EA⊥平面ABCD，从而EA⊥AC，又EA∩AB=A，故AC⊥平面ABE，所以AC⊥BE..(2)因为VA-GFC=VF-AGC=VE-AGC=12VE-ABC，VE-ABC=13×1×12×1×3=36.所以，三棱锥A-GFC的体积为312.21．（本题满分12分）【2022届湖南省益阳市、湘潭市高三9月调研】如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.-15-\n【答案】(1)见解析；(2)．试题解析：（1）证：设，连接，则，又平面，且平面平面.（2）.22．（本题满分12分）【2022届吉林省百校联盟高三九月联考】如图所示，四棱锥中，平面平面，，，．（1）证明：在线段上存在一点，使得平面；（2）若，在（1）的条件下，求三棱锥的体积．【答案】(1)见解析;(2).试题解析：（1）如图，取的中点，的中点，连接，，∵是的中位线，∴，-15-\n依题意得，，则有，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面．（2）∵平面平面，平面平面，，平面，故平面，∵是的中点，∴到平面的距离等于到平面的距离的一半，且平面，，∴三棱锥的高是2，，在等腰中，，，边上的高为，，∴到的距离为，∴，∴．-15-
