第04节基本不等式及其应用班级__________姓名_____________学号___________得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】C2.【2022贵州贵阳市第一中学模拟】在等差数列中，若，且，则的最小值为（）A.4B.6C.8D.16【答案】A【解析】由等差数列性质得：=，等号成立的条件为，故选A．3.【2022东北四市一模试题】已知，，且，则的最小值为()9\nA.8B.9C.12D.16【答案】B4.设，若的最小值为A.B.8C.D.【答案】D【解析】试题分析：因为，所以，又因为所以，，当且仅当即取等号，答案为D.5.【2022届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】若，则的最大值是（）A.1B.C.D.2【答案】A【解析】，又由9\n，所以，从而，当且仅当，时取最大值．所以选A.6.已知函数，若且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D7.点在由点、确定的直线上，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，则选A.8.设均为正数，且，则的最小值为（）A．16B．15C．10D．9【答案】D【解析】因为均为正数，且，所以，整理可得：，由基本不等式可得，整理可得，解得或（舍去），所以，当且仅当时取等号，故的最小值为，故选D.9.【2022河南林州市第一中学模拟】已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（）9\nA.10B.15C.20D.25【答案】C10.【2022黑龙江大庆实验中学模拟】若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆的弦长为2，则的最小值为（）A.4B.6C.12D.16【答案】B【解析】圆心坐标为，半径为1，又直线截圆得弦长为2，所以直线过圆心，即，，所以，当且仅当时取等号，因此最小值为6，故选B．11.【2022湖南岳阳一中模拟】已知，则的最小值为（）A.6B.4C.D.【答案】A【解析】因为，而9\n（当且仅当时取等号），故（当且仅当取等号），应选答案A。12．【2022河南南阳第一中学模拟】已知，若，则的最大值为（）A.3B.4C.14D.8【答案】B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．【2022江西南昌模拟】已知函数的最小值为6，则正数的值为_________.【答案】【解析】令的最小值为6，解得，故答案为14.【2022江苏南京溧水高级中学模拟】以为钝角的中，，当角最大时，面积为________．9\n【答案】【解析】过作，垂足为，则，，又，设，则，当且仅当，即时取“=”，由正切函数的单调性可知此时也最大，综上所述，的面积为，故答案为.15.【2022河南南阳市第一中学模拟】设，时满足的正数，则的最大值是__________.【答案】16．【2022河南师范大学附属中学模拟】已知分别为内角的对边，，且，则面积的最大值为__________．【答案】【解析】由正弦定理得，当且仅当时取等号所以，即面积的最大值为三、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．利用基本不等式求最值：9\n（1）若，求函数的最小值，并求此时x的值.（2）设，求函数的最大值.【解析】（1）当时，，所以当且仅当，即x=2时取等号.因此，函数在x=2时取得最小值4.（2）由得，,所以，当且仅当2x=3-2x，即x=时取等号.因此，函数的最大值为18．若对任意x>0，≤a恒成立，求a的取值范围．19．【2022·山东齐鲁名校第二次调研】首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋45000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【解析】(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为x＋－200≥2－200＝100，当且仅当x＝，即x＝300时等号成立，故该单位月处理量为300吨时，9\n才能使每吨的平均处理成本最低．(2)获利．设该单位每月获利为S元，则S＝200x－y＝－x2＋400x－45000＝－(x－400)2＋35000.因为x∈[300，600]，所以S∈[15000，35000]．故该单位每月获利，最大利润为35000元．20．在中，角所对的边分别为，已知,．（1）当成等差数列时，求的面积；（2）设为边的中点，求线段长的最小值．【解析】（1）因为成等差数列，所以，由余弦定理，得，解得，从而.（2）方法一：因为为边的中点，所以，则，当且仅当时取等号，所以线段长的最小值为.方法二：因为为边的中点，所以可设，由，得，即，又因为，即，所以，9\n故，当且仅当时取等号，所以线段长的最小值为.9
