第04节基本不等式及其应用【考纲解读】考点考纲内容五年统计分析预测基本不等式掌握基本不等式(a，b＞0)及其应用2022浙江文12,20；理10.利用基本不等式求函数的最值备考重点：1.基本不等式等号成立的条件；2.基本不等式应用问题.【知识清单】基本不等式1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”）推论：（）2、如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.推论：（，）；3、对点练习【2022重庆铜梁县联考】函数y=loga（x+2）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，则1m+2n的最小值为（ ）A.3+2B.3+2C.7D.11【答案】A【考点深度剖析】8\n基本不等式是不等式中的重要内容，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中往往是大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用．【重点难点突破】考点1利用基本不等式证明不等式【1-1】不已知、、都是正数，求证：【解析】∵、、都是正数∴（当且仅当时，取等号）（当且仅当时，取等号）（当且仅当时，取等号）∴（当且仅当时，取等号）即.【1-2】已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：.【解析】∵，，，∴.同理，.∴＝，当且仅当，即时取“＝”．∴，当且仅当时等号成立．【领悟技法】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．【触类旁通】【变式一】求证:8\n考点2利用基本不等式求最值【2-1】【2022天津，理12】若，，则的最小值为___________.【答案】【解析】，（前一个等号成立条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时取得，则当且仅当时取等号）.【2-2】【2022河北大名第一中学模拟】已知关于x的不等式x2-4ax+3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），则的最大值是（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】：不等式x2-4ax+3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），根据韦达定理，可得：，x1+x2=4a，那么：=4a+．8\n∵a＜0，∴-（4a+）≥2=，即4a+≤-故的最大值为．故选：D．【2-3】【2022安徽安庆模拟】若方程有两个不等的实根和，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【领悟技法】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．注意：形如y＝x＋(a>0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．【触类旁通】【变式一】【2022届浙江杭州高三二模】设函数的两个零点为，，若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】，所以，则，故选择B.8\n【变式二】【2022河南师范大学附属中模拟】对于使成立的所有常数中，我们把的最小值叫做的上确界，若正数且，则的上确界为（）A.B.C.D.-4【答案】A考点3基本不等式的实际应用【3-1】【2022江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是.【答案】30【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.【3-2】如图，有一块等腰直角三角形的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形的绿地，已知,，绿地面积最大值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】设，，由条件可知和为等直角三角形，所以，．＝≥＝，即≤4，所以，所以绿地面积最大值为4，故选C．8\n【3-3】 ()某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD＝60m，AB＝40m，且△EFG中，∠EGF＝90°，经测量得到AE＝10m，EF＝20m，为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏，设计时经过点G作一直线分别交AB，DF于M，N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场，设DN＝x(m)．(1)将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数；(2)当x为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．【领悟技法】用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.【触类旁通】【变式】运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；8\n(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．【解析】(1)设所用时间为t＝(h)，y＝×2×＋14×，x∈[50，100]．所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50，100]．(或y＝＋x，x∈[50，100])．y＝＋x≥26，当且仅当＝x，即x＝18，等号成立．故当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元．【易错试题常警惕】易错典例：已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝(x＋)(y＋)的最小值为________．[错解] 错解一：因为对a>0，恒有a＋≥2，从而z＝(x＋)(y＋)≥4，所以z的最小值是4.错解二：z＝＝(＋xy)－2≥2－2＝2(－1)，所以z的最小值是2(－1)．易错分析：错解的错误原因是等号成立的条件不具备．温馨提示：1.在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”8\n是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各项的值相等时，等号成立．2．多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性．8
