专题6.3等比数列及其求和【考纲解读】内容要求备注A B C 数列数列的概念√ 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.等差数列 √等比数列 √ 【直击考点】题组一 常识题1．已知等比数列{an}中，a3＝12，a4＝18，则该数列的通项公式为an＝________．2．在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6＝________.【解析】a2·a6＝a＝16.3．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于________．【解析】由已知得＝－，则数列{an}是公比为－的等比数列．∵a2＝－，∴a1＝4，则数列{an}的前10项和S10＝＝3×(1－3－10)．4．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数构成等比数列，则这两个数为________．【解析】设该数列的公比为q，则由题意知，243＝9×q3，得q3＝27，∴q＝3.故插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81.-15-\n题组二 常错题5．已知等比数列{an}中，a3＝4，a7＝16，则a3与a7的等比中项为________．【解析】设a3与a7的等比中项为G.因为等比数列{an}中，a3＝4，a7＝16，所以G2＝4×16＝64，所以G＝±8.6．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，则此数列的公比q＝________．7．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________．【解析】∵{an}为等比数列，且a10a11＋a9a12＝2e5，∴a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，∴a10a11＝e5，∴lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln(a10a11)10＝ln(e5)10＝lne50＝50.题组三 常考题8．若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋2，c＝5－2，则b＝________．【解析】因为三个正数a，b，c成等比数列，所以b2＝ac＝(5＋2)(5－2)＝1.因为b>0，所以b＝1.9．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．【解析】由a1＝2，an＋1＝2an可知数列{an}为等比数列，公比为2，所以Sn＝＝126，得n＝6.10．已知{an}是等比数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且－＝，S6＝63，则{an}的通项公式为an＝________.【知识清单】-15-\n考点1等比数列的定义，通项公式，前项和的基本运算1.等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：,（注意：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零）2．等比数列通项公式为：.说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则.3．等比中项如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）4．等比数列前项和公式一般地，设等比数列的前n项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.说明：（1）（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况.5.等差数列与等比数列的区分与联系(1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列．(2)如果数列成等比数列，且，那么数列(，且)必成等差数列．(3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列．数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．(4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列．-15-\n考点2等比数列的性质1.等比数列的性质：（1）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项；（2）在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列，如：，，，，……；，，，，……；（3）在等比数列中，对任意，，；（4）在等比数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等比中项.也就是：，如图所示：.（5）若数列是等比数列，且公比不为－1，是其前项的和，，那么，，成等比数列.如下图所示：.（6）两个等比数列与的积、商、倒数的数列、、仍为等比数列．（7）若数列是等比数列,则，仍为等比数列．2.公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，，，…成等比数列，且公比为.3.等比数列的单调性当或时，为递增数列，当或时，为递减数列．-15-\n考点3等差数列与等比数列的综合应用等差数列和等比数列等差数列等比数列定义＝常数＝常数通项公式判定方法(1)定义法；(2)中项公式法：⇔为等差数列；(3)通项公式法：(为常数,)⇔为等差数列；(4)前n项和公式法：(为常数,)⇔为等差数列；(5)为等比数列，且，那么数列(，且)为等差数列(1)定义法(2)中项公式法：()⇔为等比数列(3)通项公式法：(均是不为0的常数，)⇔为等比数列(4)为等差数列⇔(总有意义)为等比数列性质(1)若，，，，且，则(2)(3)，…仍成等差数列(1)若，，，，且，则(2)(3)等比数列依次每项和()，即，…仍成等比数列前n项和时，；当时，或.【考点深度剖析】-15-\n江苏新高考对数列知识的考查要求较高，整个高中共有8个C能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、不等式、平面解析几何知识结合考查.【重点难点突破】考点1等比数列的定义，通项公式，前项和的基本运算【题组全面展示】【1-1】对任意等比数列,下列说法一定正确的是.成等比数列成等比数列成等比数列成等比数列【答案】D【解析】因为数列为等比数列，设其公比为，则所以，一定成等比数列，故选D.【1-2】已知数列是正项等比数列，若则数列的通项公式为.【答案】【1-3】已知等比数列的前项和为，且，，则.【答案】【解析】∵，∴，由（1）（2）可得，∴，代入（1）得，∴，-15-\n∴，∴.【1-4】在等比数列中，已知，公比,则等于.【答案】【解析】因为，等比数列中，已知，公比，所以，，公比即.【1-5】已知数列满足，，，则的前项和=.【答案】综合点评：这几个题都是等比数列的基本运算，与等比数列的判定，关于等比数列的基本运算，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件．容易出现的问题主要有两个方面：一是计算出现失误，特别是利用因式分解求解方程的根时，不注意对根的符号进行判断；二是不能灵活运用等比数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量．在判断一个数列是否为等比数列时，应该根据已知条件灵活选用不同的方法，一般是先建立与的关系式或递推关系式，表示出，然后验证其是否为一个与无关的常数．【方法规律技巧】1.等比数列的判定方法(1)定义法：对于数列，若，则数列是等比数列；(2)等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列；-15-\n(3)通项公式法 (均是不为0的常数，)⇔是等比数列．2.求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：在解有关等比数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等比数列的通项公式及前项和公式或，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等比数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当时，；当时，；在判断等比数列单调性时，也必须对与分类讨论．3.特殊设法:三个数成等比数列，一般设为；四个数成等比数列，一般设为.这对已知几数之积,求数列各项,运算很方便.4.等比数列的前项和公式若已知首项和末项，则，或等比数列{an}的首项是，公比是，则其前项和公式为.5.若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．【新题变式探究】【变式一】设是公比为的等比数列，令，若数列的连续四项在集合中，则等于.-15-\n【答案】或【变式二】设为等比数列的前项和，已知，，则公比.【答案】4【解析】由已知，，两式作差得,所以,即.【综合点评】这两个题都是等比数列的基本运算，第一题，给出5个数，只有三个正数，两个负数，可根据等比数列的特性可知，不可能都为正数或负数，故两正两负，且两负数为奇数项或偶数项，故可求出公比，第二个题，由数列的前项和性质，两式作差即可，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节.考点2等比数列的性质【题组全面展示】【2-1】公比为2的等比数列的各项都是正数，且则=.【答案】-4【解析】依题意可得，所以.【2-2】设等比数列的前n项和为，若，则为.【答案】【2-3】等比数列的各项均为正数，且，则-15-\n.【答案】10【解析】由题意可知，又得，而．【2-4】设数列是等比数列，满足，且，，则.【答案】【解析】由已知得，，又，则，故，，，所以.【2-5】已知公比为的等比数列的前项和为，则下列结论中：（1）成等比数列；（2）；（3）正确的结论为.【答案】（2）（3）．综合点评：这五个题都是等比数列的性质的应用，解这一类题题时应从基础处着笔，首先要熟练掌握这两种基本数列的相关性质及公式，然后要熟悉它们的变形使用，善用技巧，减少运算量，既准又快地解决问题．【方法规律技巧】1.等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式以及前项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题．2.等比数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用,故-15-\n应用等比数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．3.应用等比数列的性质要注意结合其通项公式、前项和公式．4.在运用函数判断数列的单调性时，要注意函数的自变量为连续的，数列的自变量为不连续的，所以函数性质不能够完全等同于数列的性质．有些数列会出现前后几项的大小不一，从某一项开始才符合递增或递减的特征，这时前几项中每一项都必须研究．【新题变式探究】【变式一】已知等比数列的前项积记为，若，则.【答案】512【解析】由等比数列性质及可得.又等比数列的前项积记为，即，所以.【变式二】已知各项均为正数的等比数列中，与的等比中项为，则的最小值为.【答案】8【解析】∵与的等比中项为，∴，∴，∴的最小值为8.【综合点评】这两个题都是性质的灵活运用，第一个题给出新定义，根据新定义利用等比数列的性质即可解出，第二个题利用等比数列的性质合理转化得，可利用积为定值，和有最小值，可用基本不等式解出，做这一类题关键是善用技巧，减少运算量，快速解题.考点3等差数列与等比数列的综合应用【题组全面展示】【3-1】各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则.【答案】【解析】由题意得，即，解得（舍去）；而-15-\n.【3-2】已知等比数列公比为，其前项和为，若、、成等差数列，则等于.【答案】【3-3】设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则等于.【答案】126【解析】因为数列是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，得，是以1为首项，2为公比的等比数列，，．【3-4】已知等差数列的公差和首项都不等于0，且，，成等比数列，则.【答案】2【3-5】已知为等比数列，是它的前项和.若，且与的等差中项为，则=.-15-\n【答案】31【解析】由得，即，与的等差中项为，可得，得，，从而，所以．综合点评：这几个题都是考查了等差数列与等比数列的综合应用，在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解；解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向、形成解题策略.【方法规律技巧】1.等差、等比数列性质很多，在高考中以等差中项和等比中项的考查为主，在应用时，要注意等式两边的项的序号之间的关系．2.在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式．方程思想的应用往往是破题的关键．3.解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．4.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．5.解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向、形成解题策略.【新题变式探究】【变式一】在等比数列中，是的等差中项，公比满足如下条件：（为原点）中，，，为锐角，则公比等于.【答案】-2【解析】∵是的等差中项，∴，得或；又∵为锐角，-15-\n，且，得，∴.【变式二】若等比数列的各项均为正数，且，则.【答案】.【综合点评】这两个题都是考查了等差数列与等比数列的综合应用，第一个题是利用等差数列与等比数列的性质求出公比的可能值，再由向量的运算来确定确切值，第二题等比数列与等差数列间的转换，解题时可由对数的运算，将式子变形，再由等比数列的性质即可解出，解题的关键是，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向、形成解题策略.【易错试题常警惕】易错典例：设等比数列的前项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则数列的公比q是________．易错分析： 忽视对等比数列中公比的分类讨论致误，即当q＝1时，符合要求．很多考生在做本题时都想当然地认为q≠1.【答案】1或－1-15-\n温馨提醒：(1)等比数列前项和公式是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是必须弄清公比是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论，在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对与分类讨论，防止因忽略这一特殊情形导致解题失误．(2)在等比数列中易忽视每项与公比都不为0.由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.-15-
