专题4.6正余弦定理【基础巩固】一、填空题1．(2022·哈尔滨模拟)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，△ABC的面积为，则C＝________.【答案】60°2．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝，a＝2，b＝，则B＝________.【答案】【解析】∵A＝，a＝2，b＝，∴由正弦定理＝可得，sinB＝sinA＝×＝.∵A＝，∴B＝.3．(2022·海门中学月考)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A7\n在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为________km.【答案】a【解析】由题图可知，∠ACB＝120°，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－2·a·a·＝3a2，解得AB＝a(km)．4．(2022·盐城诊断)在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为________．【答案】直角三角形5．(2022·山东卷改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝________.【答案】【解析】在△ABC中，由b＝c，得cosA＝＝，又a2＝2b2(1－sinA)，所以cosA＝sinA，即tanA＝1，又知A∈(0，π)，所以A＝.6．(2022·南京、盐城模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＋c＝2b，sinB＝sinC，则cosA＝________.【答案】【解析】由sinB＝sinC结合正弦定理可得b＝c，又a＋c＝2b，则a＝c，由余弦定理可得cos7\nA＝＝＝.7．(2022·重庆卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－，3sinA＝2sinB，则c＝________.【答案】4【解析】由3sinA＝2sinB及正弦定理，得3a＝2b，又a＝2，所以b＝3，故c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋9－2×2×3×＝16，所以c＝4.8．(2022·北京卷)在△ABC中，A＝，a＝c，则＝________.【答案】1二、解答题9．(2022·江苏卷)在△ABC中，AC＝6，cosB＝，C＝.(1)求AB的长；(2)cos的值．解 (1)由cosB＝，B∈(0，π)，则sinB＝＝，又∵C＝，AC＝6，由正弦定理，得＝，7\n即＝⇒AB＝5.(2)由(1)得：sinB＝，cosB＝，sinC＝cosC＝，则sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝，cosA＝－cos(B＋C)＝－(cosBcosC－sinBsinC)＝－，则cos＝cosAcos＋sinAsin＝.10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．【能力提升】11．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cosC，则c＝________.【答案】2【解析】∵＝2cosC，由正弦定理，7\n得sinAcosB＋cosAsinB＝2sinCcosC，∴sin(A＋B)＝sinC＝2sinCcosC，由于0＜C＜π，sinC≠0，∴cosC＝，∴C＝，∵S△ABC＝2＝absinC＝ab，∴ab＝8，又a＋b＝6，或c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋16－8＝12，∴c＝2.12．(2022·江苏卷)在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是________．【答案】8【解析】在△ABC中，A＋B＋C＝π，sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)，由已知，sinA＝2sinBsinC，13．(2022·呼和浩特调研)某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是________km2.7\n【答案】【解析】如图，连接AC，由余弦定理可知AC＝＝，故∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DAC＝∠DCA＝15°，∠ADC＝150°，＝，即AD＝＝＝，故S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝×1×＋×2×＝(km2)．14．(2022·苏北四市调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(B－C)＝1－cosA，且b，a，c成等比数列．(1)求sinB·sinC的值；(2)求A；(3)求tanB＋tanC的值．7\n7
