专题3.3导数的综合应用班级__________姓名_____________学号___________得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置上(共10题，每小题6分，共计60分)．1.【2022课标3，理11改编】已知函数有唯一零点，则a=_________【答案】【解析】2.【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2022届高三10月联考】已知函数.表示中的最小值，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是▲．【答案】-14-\n【解析】试题分析：，因为，所以要使恰有三个零点，须满足，解得3.【泰州中学2022-2022年度第一学期第一次质量检测】若函数的定义域为，对于，，且为偶函数，，则不等式的解集为．【答案】【解析】试题分析：令，则，因为为偶函数，所以，因此4.【2022届高三七校联考期中考试】若，且对任意的恒成立，则实数的取值范围为▲．【答案】【解析】-14-\n则在上恒成立，恒成立令，，为减函数，在的最大值为综上，实数的取值范围为.5.f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a，b，若a<b，则af(b)与bf(a)的大小关系为________．【答案】af(b)≤bf(a)【解析】∵xf′(x)≤－f(x)，f(x)≥0，∴′＝≤≤0.则函数在(0，＋∞)上是单调递减的，由于0<a<b，则≥.即af(b)≤bf(a)．6.设D是函数y＝f(x)定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f(x0)＝－x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在“次不动点”，若函数f(x)＝ax2－3x－a＋在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是________．【答案】-14-\n7.电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y＝x3－x2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．【答案】40【解析】由y′＝x2－39x－40＝0，得x＝－1或x＝40，由于0<x<40时，y′<0；当x>40时，y′>0.所以当x＝40时，y有最小值．8.函数f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，则a的取值范围是________．【答案】(－∞，0)【解析】f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，即函数f(x)恰有两个极值点，即f′(x)＝0有两个不等实根．∵f(x)＝ax3＋x，∴f′(x)＝3ax2＋1.要使f′(x)＝0有两个不等实根，则a<0.9.函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．【答案】21-14-\n10.设函数f(x)＝，g(x)＝，对任意x1、x2∈(0，＋∞)，不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是________．【答案】[1，＋∞)解析】因为对任意x1、x2∈(0，＋∞)，不等式≤恒成立，所以≥max.因为g(x)＝，所以g′(x)＝(xe2－x)′＝e2－x＋xe2－x·(－1)＝e2－x(1－x)．当0<x<1时，g′(x)>0；当x>1时，g′(x)<0，所以g(x)在(0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．所以当x＝1时，g(x)取到最大值，即g(x)max＝g(1)＝e；因为f(x)＝，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝e2x＋≥2e，当且仅当e2x＝，即x＝时取等号，故f(x)min＝2e.所以max＝＝.所以≥.又因为k为正数，所以k≥1.二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。(共4题，每小题10分，共计40分)．11.【2022-2022学年度江苏苏州市高三期中调研考试】（本题满分16分）已知，定义．（1）求函数的极值；（2）若，且存在使，求实数的取值范围；（3）若，试讨论函数的零点个数．-14-\n【答案】（1）的极大值为1，极小值为；（2）；（3）当时，有两个零点；当时，有一个零点；当时，有无零点．【解析】数，可得存在使得时，，在一个零点，当时无零点，最终可得零点个数为2．试题解析：（1）∵函数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1分令，得或，∵，∴，列表如下：000极大值极小值-14-\n∴，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分（3）由（1）知，在上的最小值为，①当，即时，在上恒成立，∴在上无零点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分②当即时，，又，∴在上有一个零点，．．．．．．．．．．．．．．9分③当，即时，设，∵，∴在上单调递减，-14-\n12．【江苏省苏州市2022届高三暑假自主学习测试】（本小题满分16分）已知函数．（1）求函数在区间上的最小值；（2）令是函数图象上任意两点，且满足求实数的取值范围；（3）若，使成立，求实数的最大值．【答案】（1）当时，；当时，.（2）（3）.【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，根据零点与定义区间位置关系分类讨论函数单调性：当时，在上单调递增，当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，最后根据单调性确定函数最小值（2）先转化不等式不妨取-14-\n当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，的最小值为.综上，当时，；当时，.…………………3分（2）,对于任意的，不妨取，则,则由可得，变形得恒成立，………………………5分令，则在上单调递增，故在恒成立，………………………7分在恒成立.，当且仅当时取，.………………………10分-14-\n13.【江苏省泰州中学2022届高三摸底考试】已知函数（为自然对数的底数）．（1）求的单调区间；（2）是否存在正实数使得，若存在求出，否则说明理由；（3）若存在不等实数，，使得，证明：．【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间为．（2）不存在（3）详见解析【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数符号确定单调区间：单调递减区间是，单调递增区间为．（2）构造函数-14-\n，，确定其是否有零点即可，先求导，确定为上的增函数，因此，无零点，即，故不存在正实数使得成立．（3）若存在不等实数，，使得，则和中，必有一个在，另一个在，不妨设，．①若，则，由（1）知：函数在上单调递减，所以；②若，由（2）知：当，则有，而，所以，即，而，，由（1）知：函数在上单调递减，-14-\n∴，即有，由（1）知：函数在上单调递减，所以；综合①，②得：若存在不等实数，，使得，则总有．14.【南京市2022届高三年级学情调研】（本小题满分16分）已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）当时，记函数的导函数的两个零点是和（），求证：.【答案】（1）2x－y－2＝0．（2）详见解析（3）详见解析【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得曲线在处的切线斜率为f′(1)，所以先求导f′(x)＝2x －1＋，再求斜率k=f′(1)＝2，最后由f(1)＝0，利用点斜式可得切线方程：2x－y－2＝0．（2）先求函数导数：f′(x)＝2ax－(2a＋1)＋＝．再分类讨论导函数在定义区间上的零点：当a≤0时，一个零-14-\n即2x－y－2＝0．……………………3分（2）因为b＝2a＋1，所以f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋lnx，从而f′(x)＝2ax－(2a＋1)＋＝＝，x＞0．…………5分当a≤0时，x∈(0，1)时，f′(x)＞0，x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，-14-\n所以f(x)在区间(0，)和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(，1)上单调递减．……………………10分（3）方法一：因为a＝1，所以f(x)＝x2－bx＋lnx，从而f′(x)＝(x＞0)．由题意知，x1，x2是方程2x2－bx＋1＝0的两个根，故x1x2＝．记g(x)＝2x2－bx＋1，因为b＞3，所以g()＝＜0，g(1)＝3－b＜0，所以x1∈(0，)，x2∈(1，＋∞)，且bxi＝2＋1(i＝1，2)．……………………12分f(x1)－f(x2)＝()－(bx1－bx2)＋ln＝－()＋ln．因为x1x2＝，所以f(x1)－f(x2)＝－－ln(2)，x2∈(1，＋∞)．………………14分令t＝2∈(2，＋∞)，φ(t)＝f(x1)－f(x2)＝－lnt．因为φ′(t)＝≥0，所以φ(t)在区间(2，＋∞)单调递增，所以φ(t)＞φ(2)＝－ln2，即f(x1)－f(x2)＞－ln2．……………………16分-14-
