专题3.4导数的实际应用班级__________姓名_____________学号___________得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置上(共10题，每小题6分，共计60分)．1.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．若该商品的成本为3元/千克，则销售价格x=________时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．【答案】42.某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的年关系是R＝R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是_______．【答案】300-12-\n【解析】由题意得，总成本函数为C＝C(x)＝20000＋100x，总利润P(x)＝又P′(x)＝令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P(x)最大3.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．当汽车以________千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？【答案】804.把一个周长为12cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为________．【答案】2∶1【解析】设圆柱高为x，底面半径为r，则r＝，圆柱体积V＝π2x＝(x3－12x2＋36x)(0<x<6)，-12-\nV′＝(x－2)(x－6)．当x＝2时，V最大．此时底面周长为6－x＝4,4∶2＝2∶1.5.用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折900角，再焊接而成，问该容器的高为________时，容器的容积最大？【答案】106.某厂生产某种产品件的总成本（万元），已知产品单价的平方与产品件数成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为_________时总利润最大？【答案】25【解析】设产品的单价P元，据已知，，设利润为y万元，则-12-\n，递增；递减，极大=最大.答：当产量为25万件时，总利润最大7.某公司为一家制冷设备厂设计生产某种型号的长方形薄板，其周长为4m，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，四边形ABCD(AB>AD)为长方形薄板，沿AC折叠后AB′交DC于点P.当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB′PD的面积最大时制冷效果最好．若要求制冷效果最好，则薄板的长AB＝___________【答案】8.轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC-12-\n是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1m的平台上E处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE(抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内)，D为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轮迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x轴在地面上，助跑道一端点A(0,4)，另一端点C(3,1)，点B(2,0)，单位：m.若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4m到6m之间(包括4m和6m)，试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为__________．(注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值)【答案】在2m到3m之间9.如图，现要在边长为的正方形-12-\n内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为（不小于）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于，绕岛行驶的路宽均不小于.若中间草地的造价为元，四个花坛的造价为元，其余区域的造价为元，当=____________时，可使“环岛”的整体造价最低？【答案】列表如下：9(9,10)10(10,15)15－0＋0↘极小值↗所以当，取最小值.答：当时，可使“环岛”的整体造价最低.10.甲、乙两地相距1000，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的倍，固定成本为a元．为了使全程运输成本最小，货车应以_________的速度行驶？【答案】当（元）时，；当（元）时，.-12-\n【解析】可变成本为，固定成本为元，所用时间为.，即定义域为令得因为二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。(共4题，每小题10分，共计40分)．11.【江苏省苏州市2022届高三暑假自主学习测试】（本小题满分16分）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，米，广场的一角是半径为米的扇形绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅（宽度不计），点在线段上，并且与曲线相切；另一排为单人弧形椅沿曲线（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为元，单人弧形椅的造价每米为元，记锐角，总造价为元．（1）试将表示为的函数，并写出的取值范围；（2）如何选取点的位置，能使总造价最小．-12-\n【答案】（1）（2）【解析】···········9分（2）令，，因为，所以，··············12分设锐角满足，当时，，单调递减；当时，，单调递增．···············14分-12-\n所以当，总造价最小，最小值为，此时，，，因此当米时，能使总造价最小．············16分12．【南京市2022届高三年级学情调研】（本小题满分14分）如图，某城市有一块半径为40的半圆形（以为圆心，为直径）绿化区域，现计划对其进行改建，在的延长线上取点，使，在半圆上选定一点，改建后的绿化区域由扇形区域和三角形区域组成，其面积为，设.（1）写出关于的函数关系式，并指出的取值范围；（2）试问多大时，改建后的绿化区域面积最大.【答案】（1）S＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．（2）【解析】从而S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．……………………6分-12-\n（2）由（1）知， S(x)＝1600sinx＋800x，0＜x＜π． S′(x)＝1600cosx＋800＝1600(cosx＋)．……………………8分由 S′(x)＝0，解得x＝．从而当0＜x＜时，S′(x)＞0；当＜x＜π时，S′(x)＜0 ．因此 S(x)在区间(0，)上单调递增；在区间(，π)上单调递减．……………………11分所以 当x＝，S(x)取得最大值．答：当∠AOC为时，改建后的绿化区域面积S最大．……………………14分13.【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2022届高三10月联考】(本小题满分16分)在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式（，为常数），其中与成反比，与的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套.(1)求的表达式；(2)假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）【答案】(1)（）(2)【解析】-12-\n-12-\n14.【泰州中学2022-2022年度第一学期第一次质量检测】为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1的半圆及等腰直角三角形，其中⊥．为裁剪出面积尽可能大的梯形铁片（不计损耗），将点，放在弧上，点、放在斜边上，且，设．（1）求梯形铁片的面积关于的函数关系式；（2）试确定的值，使得梯形铁片的面积最大，并求出最大值．【答案】（1），（2）时，．【解析】试题分析：（1）求梯形铁片的面积关键是用表示上下底及高，先由图形得，-12-
