专题3.3导数的综合应用【考纲解读】内容要求备注A B C 导数及其应用 导数的综合应用 √ 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.【知识清单】考点1利用导数研究恒成立问题及参数求解利用导数解决参数问题主要涉及以下方面：(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围,(2)已知函数的单调性求参数的取值范围,(3)已知函数的零点个数求参数的取值范围．考点2利用导数证明不等式问题利用导数方法证明不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)．【考点深度剖析】1.利用导数研究函数的零点与方程的根的问题一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角式结构的函数零点或方程根的形式出现,是近几年高考命题热点,一般有两种形式考查:(1)确定函数零点、图像交点及方程根的个数问题.(2)应用函数零点、图像交点及方程解的存在情况,求参数的值或取值范围问题.2.利用导数解决不等式问题是近几年高考热点,常涉及不等式恒成立、证明不等式及大小比较问题.-7-\n(1)不等式恒成立问题一般考查三次式、分式、以e为底的指数式或对数式、三角式及绝对值结构的不等式在某个区间A上恒成立(存在性),求参数取值范围.(2)证明不等式一般是证明与函数有关的不等式在某个范围内成立.(3)大小比较问题,一般是作差后不易变形定号的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式、三角式结构,可转化为用导数研究其单调性或最值的函数问题.【重点难点突破】考点1利用导数研究恒成立问题及参数求解【1-1】设函数f(x)＝x2＋ex－xex.(1)求f(x)的单调区间；(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)单调减区间为(－∞，＋∞)．(2)(－∞，2－e2)．【1-2】函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是________．【答案】20.-7-\n【解析】因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，所以－1，1为函数的极值点．又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上f(x)max＝1，f(x)min＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f(x)max－f(x)min≤t，从而t≥20，所以t的最小值是20.【思想方法】(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解．(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立的问题．(3)已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像，数形结合求解．【温馨提醒】已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数 f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，且 f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数 f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有 f′(x0)＝0，甚至可以在无穷多个点处 f′(x0)＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间．考点2利用导数证明不等式问题【2-1】已知函数f(x)＝x2－ax3(a>0)，函数g(x)＝f(x)＋ex(x－1)，函数g(x)的导函数为g′(x)．(1)求函数f(x)的极值；(2)若a＝e，(ⅰ)求函数g(x)的单调区间；(ⅱ)求证：x>0时，不等式g′(x)≥1＋lnx恒成立．【答案】(1)极小值为f(0)＝0，极大值为f＝.(2)(ⅰ)单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)．(ⅱ)详见解析-7-\ng′(x)＝x(ex－ex＋1)．(ⅰ)记h(x)＝ex－ex＋1，则h′(x)＝ex－e，当x∈(－∞，1)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)是增函数，∴h(x)≥h(1)＝1>0，则在(0，＋∞)上，g′(x)>0；在(－∞，0)上，g′(x)<0，-7-\n【2-2】记函数fn(x)＝a·xn－1(a∈R，n∈N*)的导函数为f′n(x)，已知f′3(2)＝12.(1)求a的值；(2)设函数gn(x)＝fn(x)－n2lnx，试问：是否存在正整数n使得函数gn(x)有且只有一个零点？若存在，请求出所有n的值；若不存在，请说明理由；(3)若实数x0和m(m>0且m≠1)满足＝，试比较x0与m的大小，并加以证明．【答案】(1)a＝1.(2)n＝1，(3)当m>1时，x0<m，当0<m<1时，x0>m.【解析】(1)f3′(x)＝3ax2，由f3′(2)＝12得a＝1.(2)gn(x)＝xn－n2lnx－1，g′n(x)＝nxn－1－＝.因为x>0，令gn′(x)＝0得x＝，当x>时，gn′(x)>0，gn(x)是增函数；当0<x<时，gn′(x)<0，gn(x)是减函数．所以当x＝时，gn(x)有极小值，也是最小值，gn()＝n－nlnn－1.当x→0时，gn(x)→＋∞；当x→＋∞时，gn(x)→＋∞.-7-\n当且仅当x＝1时取等号，所以h(x)在[1，＋∞)上是减函数．又m>1，所以h(m)<h(1)＝0，所以x0－m<0，所以x0<m.当0<m<1时，(n＋1)(mn－1)<0.设h(x)＝－xn＋1＋x(n＋1)－n(0<x≤1)，则h′(x)＝－(n＋1)xn＋n＋1＝－(n＋1)(xn－1)≥0，当且仅当x＝1时取等号，所以h(x)在(0,1]上是增函数．又因为0<m<1，所以h(m)<h(1)＝0，所以x0－m>0，所以x0>m.综上所述，当m>1时，x0<m，当0<m<1时，x0>m.【思想方法】利用导数方法证明不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h(x-7-\n)>0，其中一个重要技巧就是找到函数h(x)在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口．【温馨提醒】构造函数是证明不等式常用方法，但要根据题意明确作一个差函数还是作左右两个函数．【易错试题常警惕】1、函数的单调性问题，一般是先确定函数的定义域，再求导数，最后令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间．如：设函数，讨论的单调性．【分析】函数的定义域是，，当，即时，函数单调递增，当，即时，函数单调递减，所以函数在上单调递减，在上单调递增．【易错点】用导数研究函数的单调性时容易忽视函数的定义域而致误．-7-
