专题3.5导数的综合应用一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.若方程在上有解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．∪【答案】A2.如图所示，连结棱长为2的正方体各面的中心得一个多面体容器，从顶点处向该容器内注水，注满为止.已知顶点到水面的高度以每秒1匀速上升，记该容器内水的体积与时间的函数关系是，则函数的导函数的图像大致是（）【答案】D【解析】正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体，棱长为，高为2，设时间为t时，当t≤1时，此时水面的边长为b，，则，则水面的面积为，该容器内水的体积，当t＞1时，此时水面的边长为c，14\n，则，则水面的面积为，该容器内水的体积，∴3．【2022“超级全能生”浙江3月联考】“函数存在零点”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分不用必要条件【答案】B4.对于上可导的任意函数，若满足，则必有（）A.B.C.D.【答案】C【解析】∵，∴当时，，则函数在上单调递减，当时，，则函数在上单调递增，即函数在处取最小值，∴，，则将两式相加得．故选Ｃ.5.设函数其中θ∈，则导数f′（1）的取值范围是（）A．[－2,2]B．[，]C．[，2]D．[，2]【答案】D【解析】14\n试题分析：,,,,,即．故D正确．6.已知函数则方程恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是（注：e为自然对数的底数）（）A．B．C．D．【答案】B当时，，当时，，当时，，所以与在，上有2个交点，所以直线在和之间时与函数有2个交点，所以，故选B.7.给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”，经探究发现，任意一个三次函数都有“拐点”，且该“拐点”14\n也是该函数的对称中心，若，则（）A．4032B．4030C．2022D．2022【答案】B【解析】8．设函数在（0，＋∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数，若函数，且恒有，则（）A．K的最大值为B．K的最小值为C．K的最大值为2D．K的最小值为2【答案】B【解析】因为，所以在区间上恒成立，即，由得，令，当时，，当时，，所以在区间上，，函数14\n单调递增，在区间上，函数单调递减，所以当时，函数有最大值，即，所以，即的最小值为，故选B．9.【2022安徽马鞍山二模】已知函数，，若存在使得，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B10.若函数有两个零点，则的取值范围（）A. B.C. D.【答案】A【解析】考查函数，则问题转化为曲线与直线有两个公共点，则，则，当时，，当时，，，，则，当，，，，则，此时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，14\n同理，当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，因此函数在处取得极小值，亦即最小值，即，由于函数有两个零点，结合图象知，解得，故选A.11.对任意实数，定义运算：，设，则的值是（）（A）（B）（C）（D）不确定【答案】A12.已知函数的两个极值点分别为，，且，，点表示的平面区域为，若函数（）的图象上存在区域内的点，则实数的取值范围是（）14\nA．B．C．D．【答案】C【解析】依题意知，有两根，且，，所以，即表示的平面区域为点右上方阴影区域．函数的图象只要在点的上方即可，所以，解得，，故选C．OA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13.已知函数，若不等式的解集为，则的值为___________．【答案】【解析】14.已知函数在区间内单调,则的最大值为__________.【答案】14\n【解析】求导得：，由此可知在递减，在内递增，所以的最大值为.15.函数在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是_____【答案】．【解析】根据题意，当时，，为减函数；当时，，为增函数，若函数在区间上恰有一个零点，则，即；当时，，，综上16.【2022山西三区八校二模】定义在上的奇函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为__________．【答案】三、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）14\n17.【百强校】2022广东惠州一调】已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）求证：，不等式恒成立．【答案】（Ⅰ）时，在上单调递增，时，当时，在单调递减．在单调递增；（Ⅱ）证明见解析．【解析】（Ⅰ）的定义域为，①若，在上单调递增②若，当时，，在单调递减．当时，，在单调递增．18.【2022浙江杭州二模】设函数.（1）求函数的值域；（2）当实数，证明：.14\n【答案】（1），，（2）见解析【解析】试题分析：（1）首先确定函数的定义域，，然后利用导数研究函数单调性与极值，就可以确定函数的值域，另外也可以根据求的值域，然后得到的值域；（2）设函数，然后转化为证明即可，通过对函数求导，研究函数在区间上的最大值，于是问题得证.试题解析：（1）函数的定义域是，，当时，解得，在上单调递增，在上单调递减，，，函数的值域为.（2）设，，，，，14\n19．【2022江西九江三模】已知函数恰有两个极值点，且.（1）求实数的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】(1),依题意得为方程的两不等正实数根,,令.当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，且，，当时，，解得，故实数的取值范围是.(2)由（1）得,两式相减得,,，令，即，令，则需满足在上恒成立，，令，则.14\n20.【2022河北唐山二模】已知函数的图象与轴相切，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求证：【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）对函数求导，设的图象与轴相交于点，由题意可得在该点处导数值为0，函数值为0，构造方程组可得的值，将题意转化为，设，利用导数判断其单调性求出最大值即可；（Ⅱ）构造函数，对其求导结合（Ⅰ）可得的单调性，从而有，化简整理可得，运用换底公式及（Ⅰ）中的不等式可得，再次运用可得结论.试题解析：（Ⅰ），设的图象与轴相交于点，则即解得．14\n所以，等价于．即，（*），所以．（Ⅱ）设，则，由（Ⅰ）可知，当时，，从而有，所以单调递增，又，所以，从而有，即，所以，即，，14\n14
