星期六 (解答题综合练) 2022年____月____日1．设向量a＝(2，sinθ)，b＝(1，cosθ)，θ为锐角．(1)若a·b＝，求sinθ＋cosθ的值；(2)若a∥b，求sin的值．解 (1)因为a·b＝2＋sinθcosθ＝，所以sinθcosθ＝.所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝.又因为θ为锐角，所以sinθ＋cosθ＝.(2)法一 因为a∥b，所以tanθ＝2.所以sin2θ＝2sinθcosθ＝＝＝，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝－.所以sin＝sin2θ＋cos2θ＝×＋×＝.法二 因为a∥b，所以tanθ＝2.所以sinθ＝，cosθ＝.因此sin2θ＝2sinθcosθ＝，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－.所以sin＝sin2θ＋cos2θ7\n＝×＋×＝.2．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC，点E在棱PB上，且PE＝2EB.(1)求证：平面PAB⊥平面PCB；(2)求证：PD∥平面EAC.证明 (1)∵PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB.(2)∵PA⊥底面ABCD，又AD⊂平面ABCD，∴PA⊥AD.又∵PC⊥AD，又PC∩PA＝P，∴AD⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，∴AC⊥AD.在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB＝BC，得∠BAC＝，∴∠DCA＝∠BAC＝.又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形．∴DC＝AC＝(AB)＝2AB.连接BD，交AC于点M，连接EM，则＝＝2.在△BPD中，＝＝2，∴PD∥EM又PD⊄平面EAC，EM⊂平面EAC，7\n∴PD∥平面EAC.3．某商场对A品牌的商品进行了市场调查，预计2022年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是：P(x)＝x(x＋1)(41－2x)(x≤12且x∈N*)．(1)写出第x月的需求量f(x)的表达式；(2)若第x月的销售量g(x)＝(单位：件)，每件利润q(x)元与月份x的近似关系为：q(x)＝，问：该商场销售A品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？(e6≈403)解 (1)当x＝1时，f(1)＝P(1)＝39.当x≥2时，f(x)＝P(x)－P(x－1)＝x(x＋1)(41－2x)－(x－1)x(43－2x)＝3x(14－x)．∴f(x)＝－3x2＋42x(x≤12，x∈N*)．(2)设月利润为h(x)，h(x)＝q(x)·g(x)＝h′(x)＝∵当1≤x≤6时，h′(x)≥0，当6＜x＜7时，h′(x)＜0，∴当1≤x＜7且x∈N*时，h(x)max＝30e6≈12090，∵当7≤x≤8时，h′(x)≥0，当8≤x≤12时，h′(x)≤0，∴当7≤x≤12且x∈N*时，h(x)max＝h(8)≈2987.综上，预计该商场第6个月的月利润达到最大，最大月利润约为12090元．4．如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上，下两个顶点为A，B，直线l：y＝－2，点P是椭圆上异于点A，B的任意一点，连接AP并延长交直线l于点N，连接PB并延长交直线l于点M，设AP所在的直线的斜率为k1，BP所在的直线的斜率为k2.若椭圆的离心率为7\n，且过点A(0，1)．(1)求k1·k2的值；(2)求MN的最小值；(3)随着点P的变化，以MN为直径的圆是否恒过定点？若过定点，求出该定点；如不过定点，请说明理由．解 (1)因为e＝＝，b＝1，解得a＝2，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.设椭圆上点P(x0，y0)，有＋y＝1，所以k1·k2＝·＝＝－.(2)因为M，N在直线l：y＝－2上，设M(x1，－2)，N(x2，－2)，由方程知＋y2＝1知，A(0，1)，B(0，－1)，所以kBM·kAN＝·＝，又由(1)知kAN·kBM＝k1·k2＝－，所以x1x2＝－12，不妨设x1＜0，则x2＞0，则MN＝|x1－x2|＝x2－x1＝x2＋≥2＝4，所以当且仅当x2＝－x1＝2时，MN取得最小值4.(3)设M(x1，－2)，N(x2，－2)，则以MN为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y＋2)2＝0，即x2＋(y＋2)2－12－(x1＋x2)x＝0，若圆过定点，7\n则有x＝0，x2＋(y＋2)2－12＝0，解得x＝0，y＝－2±2，所以，无论点P如何变化，以MN为直径的圆恒过定点(0，－2±2)．5．已知函数f(x)＝－x3＋x2，g(x)＝alnx，a∈R.(1)若对任意x∈[1，e]，都有g(x)≥－x2＋(a＋2)x恒成立，求a的取值范围；(2)设F(x)＝若P是曲线y＝F(x)上异于原点O的任意一点，在曲线y＝F(x)上总存在另一点Q，使得△POQ中的∠POQ为钝角，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围．解 (1)由g(x)≥－x2＋(a＋2)x，得(x－lnx)a≤x2－2x.由于x∈[1，e]，lnx≤1≤x，且等号不能同时取得，所以lnx＜x，x－lnx＞0.从而a≤恒成立，a≤.设t(x)＝，x∈[1，e]．求导，得t′(x)＝.x∈[1，e]，x－1≥0，lnx≤1，x＋2－2lnx＞0，从而t′(x)≥0，t(x)在[1，e]上为增函数．所以t(x)min＝t(1)＝－1，所以a的取值范围是(－∞，－1]．(2)F(x)＝设P(t，F(t))为曲线y＝F(x)上的任意一点．假设曲线y＝F(x)上存在一点Q(－t，F(－t))，使∠POQ为钝角，则·＜0.①若t≤－1，P(t，－t3＋t2)，Q(－t，aln(－t))，·＝－t2＋aln(－t)·(－t3＋t2)．由于·＜0恒成立，a(1－t)ln(－t)＜1.当t＝－1时，a(1－t)ln(－t)＜1恒成立．当t＜－1时，a＜恒成立．由于＞0，所以a≤0.②若－1＜t＜1，且t≠0，P(t，－t3＋t2)，Q(－t，t3＋t2)，则·＝－t2＋(－t3＋t2)·(t3＋t2)＜0，即t4－t2＋1＞0对－1＜t＜1，且t≠0恒成立．③当t≥1时，同①可得a≤0.7\n综上所述，a的取值范围是(－∞，0]．6．已知数列{an}的前三项分别为a1＝5，a2＝6，a3＝8，且数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋m＝(S2n＋S2m)－(n－m)2，其中m，n为任意正整数．(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)求满足S－an＋33＝k2的所有正整数k，n.解 (1)在等式Sm＋n＝(S2n＋S2m)－(n－m)2中，分别令m＝1，m＝2，得Sn＋1＝(S2n＋S2)－(n－1)2，①Sn＋2＝(S2n＋S4)－(n－2)2，②②－①，得an＋2＝2n－3＋.在等式Sn＋m＝(S2n＋S2m)－(n－m2)中，令n＝1，m＝2，得S3＝(S2＋S4)－1，由题设知，S2＝11，S3＝19，故S4＝29.所以an＋2＝2n＋6(n∈N*)，即an＝2n＋2(n≥3，n∈N*)．又a2＝6也适合上式，故an＝Sn＝即Sn＝n2＋3n＋1，n∈N*.(2)记S－an＋33＝k2(*)．n＝1时，无正整数k满足等式(*)．n≥2时，等式(*)即为(n2＋3n＋1)2－3(n－10)＝k2.①当n＝10时，k＝131.②当n＞10时，则k＜n2＋3n＋1，又k2－(n2＋3n)2＝2n2＋3n＋31＞0，所以k＞n2＋3n.从而n2＋3n＜k＜n2＋3n＋1.又因为n，k∈N*，所以k不存在，从而无正整数k满足等式(*)．③当n＜10时，则k＞n2＋3n＋1，因为k∈N*，所以k≥n2＋3n＋2.从而(n2＋3n＋1)2－3(n－10)≥(n2＋3n＋2)2.即2n2＋9n－27≤0.因为n∈N*，所以n＝1或2.n＝1时，k2＝52，无正整数解；n＝2时，k2＝145，无正整数解．7\n综上所述，满足等式(*)的n，k分别为n＝10，k＝131.7
