星期一 (三角与立体几何问题) 2022年____月____日1．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(2，－1)．(1)若a⊥b，求的值；(2)若|a－b|＝2，θ∈，求sin的值．解 (1)由a⊥b可知，a·b＝2cosθ－sinθ＝0，所以sinθ＝2cosθ，所以＝＝.(2)由a－b＝(cosθ－2，sinθ＋1)可得|a－b|＝＝＝2，即1－2cosθ＋sinθ＝0，又cos2θ＋sin2θ＝1，且θ∈，解得sinθ＝，cosθ＝，所以sin＝(sinθ＋cosθ)＝＝.2.如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明 (1)因为平面PAD∩平面ABCD＝AD.又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD.所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.2\n所以ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形．所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又因为PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD，且CD⊂平面PCD，又E，F分别是CD和CP的中点，所以EF∥PD，故CD⊥EF.由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.2
