星期日 (40分附加题部分) 2022年____月____日选做部分请同学从下面给的四题中选定两题作答1．选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE＝AC，DE交AB于点F.求证：△PDF∽△POC.证明 因为AE＝AC，∠CDE＝∠AOC，又∠CDE＝∠P＋∠PFD，∠AOC＝∠P＋∠OCP，从而∠PFD＝∠OCP，在△PDF与△POC中，∠P＝∠P，∠PFD＝∠OCP，故△PDF∽△POC.2．选修4-2：矩阵与变换已知矩阵A＝(c，d为实数)．若矩阵A属于特征值2，3的一个特征向量分别为，，求矩阵A的逆矩阵A－1.解 由题意知＝＝2，＝＝3，所以解得所以A＝，所以A－1＝.3．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆A的圆心为(4，0)，半径为4，点M为圆A上异于极点O的动点，求弦OM中点的轨迹的极坐标方程．解 由题意知，圆A的极坐标方程为ρ＝8cosθ，4\n设弦OM的中点为N(ρ，θ)，则M(2ρ，θ)，因为点M在圆A上，所以2ρ＝8cosθ，即ρ＝4cosθ，又点M异于极点O，所以ρ≠0，所以弦OM中点的轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ≠0)．4．选修4-5：不等式选讲已知x，y，z∈R，且x＋2y＋3z＋8＝0.求证：(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥14.证明 因为[(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2](12＋22＋32)≥[(x－1)＋2(y＋2)＋3(z－3)]2＝(x＋2y＋3z－6)2＝142，当且仅当＝＝，即x＝z＝0，y＝－4时，取等号，所以(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥14.必做部分1．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知CA＝CB＝1，AA1＝2，∠BCA＝90°.(1)求异面直线BA1与CB1夹角的余弦值；(2)求二面角BAB1C平面角的余弦值．解 如图，以{，，}为正交基底，建立空间直角坐标系Cxyz，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，A1(1，0，2)，B1(0，1，2)，所以＝(0，1，2)，＝(－1，1，0)，＝(－1，1，2)，＝(1，－1，2)．(1)因为cos〈，〉＝4\n＝＝，所以异面直线BA1与CB1夹角的余弦值为.(2)设平面CAB1的法向量为m＝(x，y，z)，则即取平面CAB1的一个法向量为m＝(0，2，－1)；设平面BAB1的法向量为n＝(r，s，t)，则即取平面BAB1的一个法向量为n＝(1，1，0)，则cos〈m，n〉＝＝＝，所以二面角BAB1C平面角的余弦值为.2．在数列{an}中，已知a1＝20，a2＝30，an＋1＝3an－an－1(n∈N*，n≥2)．(1)当n＝2，3时，分别求a－an－1an＋1的值，并判断a－an－1an＋1(n≥2)是否为定值，然后给出证明；(2)求出所有的正整数n，使得5an＋1an＋1为完全平方数．解 (1)由已知得a3＝70，a4＝180.所以当n＝2时，a－an－1an＋1＝－500；当n＝3时，a－an－1an＋1＝－500.猜想：a－an－1an＋1＝－500(n≥2)．下面用数学归纳法证明：①当n＝2时，结论成立．②②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即a－ak－1ak＋1＝－500.将ak＋1＝3ak－ak－1代入上式，可得a－3akak＋1＋a＝－500.则当n＝k＋1时，a－akak＋2＝a－ak(3ak＋1－ak)＝a－3akak＋1＋a＝－500.故当n＝k＋1结论成立，根据①②可得a－an－1an＋1＝－500(n≥2)成立．(2)将an－1＝3an－an＋1代入a－an－1an＋1＝－500，得a－3anan＋1＋a＝－500，则5an＋1an＝(an＋1＋an)2＋500，5anan＋1＋1＝(an＋1＋an)2＋501，4\n设5an＋1an＋1＝t2(t∈N*)，则t2－(an＋1＋an)2＝501，即[t－(an＋1＋an)](t＋an＋1＋an)＝501，又an＋1＋an∈N，且501＝1×501＝3×167，故或所以或由an＋1＋an＝250解得n＝3；由an＋1＋an＝82得n无整数解，所以当n＝3时，满足条件．4
