星期六 (解答题综合练) 2022年____月____日1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量m＝(a，c)，n＝(cosC，cosA)．(1)若m∥n，c＝a，求角A；(2)若m·n＝3bsinB，cosA＝，求cosC的值．解 (1)∵m∥n，∴acosA＝ccosC.由正弦定理得sinAcosA＝sinCcosC，化简得sin2A＝sin2C.∵A，C∈(0，π)，∴2A＝2C(舍)或2A＋2C＝π，∴A＋C＝，∴B＝，在Rt△ABC中，tanA＝＝，A＝.(2)∵m·n＝3bcosB，∴acosC＋ccosA＝3bsinB.由正弦定理得sinAcosC＋sinCcosA＝3sin2B，从而sin(A＋C)＝3sin2B.∵A＋B＋C＝π，∴sin(A＋C)＝sinB，从而sinB＝，∵cosA＝>0，A∈(0，π)，∴A∈，sinA＝.∵sinA>sinB，∴a>b，从而A>B，B为锐角，cosB＝.∴cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝－×＋×＝.2．如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点．6\n(1)求证：BF∥平面A1EC；(2)求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1.证明 (1)连接AC1并交A1C于点O，连接OE，OF，在正三棱柱ABCA1B1C1中，四边形ACC1A1为平行四边形，所以OA＝OC1.又因为F为AC的中点，所以OF∥CC1且OF＝CC1.因为E为BB1的中点，所以BE∥CC1且BE＝CC1，所以BE∥OF且BE＝OF，所以四边形BEOF是平行四边形，所以BF∥OE.又BF⊄平面A1EC，OE⊂平面A1EC，所以BF∥平面A1EC.(2)由(1)知BF∥OE，因为AB＝CB，F为AC的中点，所以BF⊥AC，所以OE⊥AC.又因为AA1⊥底面ABC，而BF⊂底面ABC，所以AA1⊥BF.由BF∥OE得OE⊥AA1，而AA1，AC⊂平面ACC1A1，且AA1∩AC＝A，所以OE⊥平面ACC1A1.因为OE⊂平面A1EC，所以平面A1EC⊥平面ACC1A1.3.若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点．椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”．6\n(1)求椭圆C2的方程；(2)设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：H为△PA1A2的垂心．(垂心为三角形三条高的交点)(1)解 由题意可知A1(－，0)，A2(，0)，椭圆C1的离心率e＝.设椭圆C2的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则b＝.因为＝＝，所以a＝2.所以椭圆C2的方程为＋＝1.(2)证明 设P(x0，y0)，y0≠0，则＋＝1，从而y＝12－2x.将x＝x0代入＋＝1得＋＝1，从而y2＝3－＝，即y＝±.因为P，H在x轴的同侧，所以取y＝，即H(x0，)．所以kA1P·kA2H＝·＝＝＝－1，从而A1P⊥A2H.又因为PH⊥A1A2，所以H为△PA1A2的垂心．4．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC6\n的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC＝a，∠ABC＝θ，设△ABC的面积为S1，正方形的PQRS面积为S2.(1)用a，θ表示S1和S2；(2)当a固定，θ变化时，求的最小值．解 (1)S1＝asinθ·acosθ＝a2sin2θ，设正方形边长为x，则BQ＝，RC＝xtanθ，∴＋xtanθ＋x＝a，∴x＝＝，S2＝＝.(2)当a固定，θ变化时，＝，令sin2θ＝t，则＝(0＜t≤1)，利用单调性求得t＝1时，＝.5．已知无穷数列{an}的各项均为正整数，Sn为数列{an}的前n项和．(1)若数列{an}是等差数列，且对任意正整数n都有Sn3＝(Sn)3成立，求数列{an}的通项公式；(2)对任意正整数n，从集合{a1，a2，…，an}中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a1，a2，…，an一起恰好是1至Sn全体正整数组成的集合．(ⅰ)求a1，a2的值；(ⅱ)求数列{an}的通项公式．解 (1)设无穷等差数列{an}的公差为d，因为Sn3＝(Sn)3对任意正整数n都成立，所以分别取n＝1，n＝2时，则有：因为数列{an}的各项均为正整数，6\n所以d≥0.可得a1＝1，d＝0或d＝2.当a1＝1，d＝0时，an＝1，Sn3＝(Sn)3成立；当a1＝1，d＝2时，Sn＝n2，所以Sn3＝(Sn)3.因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为an＝1或an＝2n－1.(2)(ⅰ)记An＝{1，2，…，Sn}，显然a1＝S1＝1.对于S2＝a1＋a2＝1＋a2，有A2＝{1，2，…，Sn}＝{1，a2，1＋a2，|1－a2|}＝{1，2，3，4}，故1＋a2＝4，所以a2＝3.(ⅱ)由题意可知，集合{a1，a2，…，an}按上述规则，共产生Sn个正整数．而集合{a1，a2，…，an，an＋1}按上述规则产生的Sn＋1个正整数中，除1，2，…，Sn这Sn个正整数外，还有an－1，an＋1＋i，|an＋1－i|(i＝1，2，…，Sn)，共2Sn＋1个数．所以，Sn＋1＝Sn＋(2Sn＋1)＝3Sn＋1.又Sn＋1＋＝3，所以Sn＝·3n－1－＝·3n－.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝·3n－－＝3n－1.而a1＝1也满足an＝3n－1.所以，数列{an}的通项公式是an＝3n－1.6．已知函数f(x)＝alnx－(a为常数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋2y－5＝0垂直，求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)当x≥1时，f(x)≤2x－3恒成立，求a的取值范围．解 (1)函数f(x)的定义域为{x|x＞0}，f′(x)＝.又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋2y－5＝0垂直，所以f′(1)＝a＋1＝2，即a＝1.(2)由f′(x)＝(x＞0)，当a≥0时，f′(x)＞0恒成立，所以f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．6\n当a＜0时，由f′(x)＞0，得0＜x＜－，所以f(x)的单调增区间为；由f′(x)＜0，得x＞－，所以f(x)的单调减区间为.(3)设g(x)＝alnx－－2x＋3，x∈[1，＋∞)，则g′(x)＝＋－2＝.令h(x)＝－2x2＋ax＋1，考虑到h(0)＝1＞0，当a≤1时，h(x)＝－2x2＋ax＋1的对称轴x＝＜1，h(x)在[1，＋∞)上是减函数，h(x)≤h(1)＝a－1≤0，所以g′(x)≤0，g(x)在[1，＋∞)上是减函数，所以g(x)≤g(1)＝0，即f(x)≤2x2－3恒成立．当a＞1时，令h(x)＝－2x2＋ax＋1＝0，得x1＝＞1，x2＝＜0，当x∈[1，x1)时，h(x)＞0，即g′(x)＞0，g(x)在[1，x1)上是增函数；当x∈(x1，＋∞)时，h(x)＜0，即g′(x)＜0，g(x)在(x1，＋∞)上是减函数．所以0＝g(1)＜g(x1)，即f(x1)＞2x1－3，不满足题意．综上，a的取值范围为a≤1.6
