星期五 (函数与导数问题) 2022年____月____日已知m∈R，f(x)＝2x3＋3x2＋6(m－m2)x.(1)当m＝1时，求f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若m∈[，2]且关于x的不等式(m－1)2(1－4m)≤f(x)≤20在区间[k，0]上恒成立，求k的最小值k(m)．解 (1)当m＝1时，f(x)＝2x3＋3x2，f′(x)＝6x2＋6x.切线斜率为k＝f′(1)＝12，f(1)＝5，所以切线方程为y＝12x－7.(2)令f′(x)＝6x2＋6x＋6(m－m2)＝0，可得x1＝－m，x2＝m－1，因为m∈[，2]，所以m－1－(－m)＝2m－1≥0.①当m－1≤0，且2m－1＞0，即<m≤1时．f(x)极大＝f(－m)＝4m3－3m2，f(x)极小＝f(m－1)＝(m－1)2(1－4m)．令g(m)＝f(x)极大＝4m3－3m2，则g′(m)＝12m2－6m≥0.故g(m)在≤m≤1上单调递增，故g(m)≤g(1)＝1≤20恒成立．令h(x)＝f(x)－(m－1)2(1－4m)，显然h(m－1)＝f(m－1)－(m－1)2(1－4m)＝0，令h(x0)＝h(m－1)(x0≠m－1)，设[x－(m－1)]2(ax＋b)＝2x3＋3x2＋6(m－m2)x－(m－1)2(1－4m)，比较两边系数得a＝2，b＝4m－1，故x0＝－＝.结合图象可知，要使(m－1)2(1－4m)≤f(x)恒成立．则只需x0≤k＜0即可，故kmin＝k(m)＝x0＝；②当m－1＞0即1＜m≤2时，同①可知，g(m)＝f(x)极大＝4m3－3m2，又g(m)，在1＜m≤2上单调递增，故g(m)≤g(2)＝20恒成立．2\n同理可知kmin＝k(m)＝x0＝(1＜m≤2)，综上可知，k(m)＝.2
