星期日 (40分附加题部分) 2022年____月____日选做部分请同学从下面所给的四题中选定两题作答1．选修4-1：几何证明选讲如图，等腰梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD.过点A作⊙O的切线交CD的延长线于点E.求证：∠DAE＝∠BAC.证明 ∵AE为⊙O的切线，∴∠ACD＝∠DAE，又∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠BAC＝∠DAE.2．选修4-2矩阵与变换已知直线l：ax－y＝0在矩阵A＝对应的变换作用下得到直线l′，若直线l′过点(1，1)，求实数a的值．解 设P(x，y)为直线l上任意一点，在矩阵A对应的变换下变为直线l′上点P′(x′，y′)，则＝，化简得代入ax－y＝0，整理得－(2a＋1)x′＋ay′＝0.将点(1，1)代入上述方程，解得a＝－1.3．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知点P，直线l：ρcos＝2，求点P到直线l的距离．解 点P的直角坐标为(3，)，直线l的普通方程为x－y－4＝0，从而点P到直线l的距离为＝.4．选修4-5：不等式选讲已知x≥1，y≥1，求证：x2y＋xy2＋1≤x2y2＋x＋y.证明 ∵x2y＋xy2＋1－x2y2－x－y＝xy(x＋y)－(x＋y)＋1－x2y23\n＝(x＋y)(xy－1)＋(1＋xy)(1－xy)＝(xy－1)(x＋y－1－xy)＝(xy－1)[x(1－y)＋y－1]＝(xy－1)(1－y)(x－1)，又∵x≥1，y≥1，∴xy≥1，∴(xy－1)(1－y)(x－1)≤0，∴x2y＋xy2＋1≤x2y2＋x＋y.必做部分1．有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入坐编号为1，2，3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ.已知ξ＝2时，共有6种坐法．(1)求n的值；(2)求随机变量ξ的数学期望．解 (1)∵当ξ＝2时，有C种坐法，∴C＝6，即＝6，∴n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3(舍去)．(2)∵ξ的可能取值是0，2，3，4.∴P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝＝，P(ξ＝4)＝＝，∴ξ的概率分布列为：ξ0234P则E(ξ)＝0×＋2×＋3×＋4×＝3.2．设集合A，B是非空集合M的两个不同子集，满足：A不是B的子集，且B也不是A的子集．(1)若M＝{a1，a2，a3，a4}，直接写出所有不同的有序集合对(A，B)的个数；(2)若M＝{a1，a2，a3，…，an}，求所有不同的有序集合对(A，B)的个数．解 (1)110.(2)集合M有2n个子集，不同的有序集合对(A，B)有2n(2n－1)个．当AB，并设B中含有k(1≤k≤n，k∈N*)个元素，则满足AB的有序集合对(A，B)有3\n（-1）=-＝3n－2n个．同理，满足BA的有序集合对(A，B)有3n－2n个．故满足条件的有序集合对(A，B)的个数为2n(2n－1)－2(3n－2n)＝4n＋2n－2×3n.3
