星期日 (40分附加题部分) 选做部分请同学从下面所给的四题中选定两题作答1.选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，且AB＝AD，E是CB延长线上一点，直线EA与圆O相切．求证：＝.证明 连接AC，∵EA是圆O的切线，∴∠EAB＝∠ACB.∵AB＝AD，∴∠ACD＝∠ACB，∴∠ACD＝∠EAB.∵圆O是四边形ABCD的外接圆，∴∠D＝∠ABE.∴△CDA∽△ABE.∴＝，∵AB＝AD，∴＝.2．选修4-2：矩阵与变换已知矩阵M＝，β＝，计算M6β.解 矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－2λ－3.令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，对应的一个特征向量分别为α1＝，α2＝.令β＝mα1＋nα2，得m＝4，n＝－3.M6β＝M6(4α1－3α2)＝4(M6α1)－3(M6α2)＝4×36－3(－1)6＝.4\n3．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，圆的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：(1)圆的普通方程；(2)圆的极坐标方程．解 (1)圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝4.(2)把代入圆的普通方程得圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ.4．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x＋1|＋(x－2)－|a2－2a|，若函数f(x)的图象恒在x轴上方，求实数a的取值范围．解 f(x)的最小值为3－|a2－2a|，由题设，得|a2－2a|<3，解得a∈(－1，3)．必做部分1.如图，在多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，且AD＝DE＝2BF＝2.(1)求证：AC⊥EF；(2)求二面角CEFD的大小．(1)证明 连接BD，∵FB∥ED，∴F，B，E，D共面，∵ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴ED⊥AC，又ABCD为正方形，∴BD⊥AC，而ED∩DB＝D，∴AC⊥平面DBFE，而EF⊂平面DBFE，∴AC⊥EF.(2)解 如图建立空间直角坐标系．则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，F(2，2，1)，E(0，0，2)，由(1)知4\n为平面DBFE的法向量，即＝(－2，2，0)，又＝(0，－2，2)，＝(2，0，1)，设平面CEF的法向量为n＝(x，y，z)，则有即取z＝1，则x＝－，y＝1，∴n＝设二面角CEFD的大小为θ，则cos〈n，〉＝＝＝，又平面CEF与平面DBFE的二面角为锐角，所以θ＝.2．已知过一个凸多边形的不相邻的两个端点的连线段称为该凸多边形的对角线．(1)分别求出凸四边形、凸五边形、凸六边形的对角线的条数；(2)猜想凸n边形的对角线条数f(n)，并用数学归纳法证明．解 (1)凸四边形的对角线条数为2条；凸五边形的对角线条数为5条；凸六边形的对角线条数为9条．(2)猜想f(n)＝(n≥3，n∈N*)．证明如下： ①当n＝3时，f(3)＝0成立．4\n②假设当n＝k(k≥3)时猜想成立，即f(k)＝.则当n＝k＋1时，考察k＋1边形A1A2…AkAk＋1.1°，k边形A1A2…Ak中原来的对角线都是k＋1边形中的对角线，且边A1Ak也成为k＋1边形中的对角线；2°，在Ak＋1与A1，A2，…，Ak连接的k条线段中，除Ak＋1A1，Ak＋1Ak外，都是k＋1边形中的对角线，故共计有f(k＋1)＝f(k)＋1＋(k－2)＝＋1＋(k－2)＝＝＝＝，即猜想对n＝k＋1时也成立．综合①②得f(n)＝对任何n≥3，n∈N*都成立．4
