专题能力训练10 三角变换与解三角形一、能力突破训练1.(2022全国Ⅲ,理4)若sinα=13,则cos2α=( )A.89B.79C.-79D.-892.已知cos(π-2α)sinα-π4=-22,则sinα+cosα等于( )A.-72B.72C.12D.-123.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tanB=3ac,则角B的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π34.在△ABC中,∠ABC=π4,AB=2,BC=3,则sin∠BAC等于( )A.1010B.105C.31010D.555.已知在△ABC中,内角A,B,C对边分别为a,b,c,C=120°,a=2b,则tanA= . 6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=45,cosC=513,a=1,则b= . 7.(2022全国Ⅱ,理15)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)= . 8.在△ABC中,a2+c2=b2+2ac.8\n(1)求B的大小;(2)求2cosA+cosC的最大值.9.在△ABC中,∠A=60°,c=37a.(1)求sinC的值;(2)若a=7,求△ABC的面积.10.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA,且B为钝角.(1)证明:B-A=π2;(2)求sinA+sinC的取值范围.11.设f(x)=sinxcosx-cos2x+π4.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若fA2=0,a=1,求△ABC面积的最大值.8\n二、思维提升训练12.若0<α<π2,-π2<β<0,cosπ4+α=13,cosπ4-β2=33,则cosα+β2等于( )A.33B.-33C.539D.-6913.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC.当3sinA-cosB+π4取最大值时,角A的大小为( )A.π3B.π4C.π6D.2π314.在△ABC中,边AB的垂直平分线交边AC于点D,若C=π3,BC=8,BD=7,则△ABC的面积为 . 15.已知sinπ4+αsinπ4-α=16,α∈π2,π,则sin4α的值为 . 16.在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是 . 17.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,π3<C<π2,且ba-b=sin2CsinA-sin2C.(1)判断△ABC的形状;(2)若|BA+BC|=2,求BA·BC的取值范围.8\n专题能力训练10 三角变换与解三角形一、能力突破训练1.B 解析cos2α=1-2sin2α=1-2×132=79.2.D 解析cos(π-2α)sinα-π4=-cos2αsinα-π4=sin2α-π2sinα-π4=2cosα-π4=2cosα+2sinα=-22,∴sinα+cosα=-12,故选D.3.D 解析由(a2+c2-b2)tanB=3ac,得a2+c2-b22ac=32·cosBsinB,即cosB=32·cosBsinB,则sinB=32.∵0<B<π,∴角B为π3或2π3.故选D.4.C 解析在△ABC中,由余弦定理,得AC2=BA2+BC2-2BA·BCcos∠ABC=(2)2+32-2×2×3cosπ4=5.解得AC=5.由正弦定理BCsin∠BAC=ACsin∠ABC,得sin∠BAC=BC·sin∠ABCAC=3×sinπ45=3×225=31010.5.32 解析由正弦定理可得sinA=2sinB,因为B=180°-A-120°=60°-A,所以sinA=2sin(60°-A),即sinA=3cosA-sinA,所以2sinA=3cosA,故tanA=32.6.2113 解析因为cosA=45,cosC=513,且A,C为△ABC的内角,所以sinA=35,sinC=1213,sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=6365.又因为asinA=bsinB,所以b=asinBsinA=2113.7.-12 解析∵(sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)2=1,∴sin2α+cos2β+cos2α+sin2β+2sinαcosβ+2sinβcosα=1+1+2sin(α+β)=1.∴sin(α+β)=-12.8.解(1)由余弦定理及题设得cosB=a2+c2-b22ac=2ac2ac=22.又因为0<B<π,所以B=π4.(2)由(1)知A+C=3π4.8\n2cosA+cosC=2cosA+cos3π4-A=2cosA-22cosA+22sinA=22cosA+22sinA=cosA-π4.因为0<A<3π4,所以当A=π4时,2cosA+cosC取得最大值1.9.解(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=37a,所以由正弦定理得sinC=csinAa=37×32=3314.(2)因为a=7,所以c=37×7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得72=b2+32-2b×3×12,解得b=8或b=-5(舍).所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×8×3×32=63.10.(1)证明由a=btanA及正弦定理,得sinAcosA=ab=sinAsinB,所以sinB=cosA,即sinB=sinπ2+A.又B为钝角,因此π2+A∈π2,π,故B=π2+A,即B-A=π2.(2)解由(1)知,C=π-(A+B)=π-2A+π2=π2-2A>0,所以A∈0,π4,于是sinA+sinC=sinA+sinπ2-2A=sinA+cos2A=-2sin2A+sinA+1=-2sinA-142+98.因为0<A<π4,所以0<sinA<22,因此22<-2sinA-142+98≤98.由此可知sinA+sinC的取值范围是22,98.11.解(1)由题意知f(x)=sin2x2-1+cos2x+π22=sin2x2-1-sin2x2=sin2x-12.由-π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ,k∈Z,可得-π4+kπ≤x≤π4+kπ,k∈Z;由π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ,k∈Z,可得π4+kπ≤x≤3π4+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是-π4+kπ,π4+kπ(k∈Z);8\n单调递减区间是π4+kπ,3π4+kπ(k∈Z).(2)由fA2=sinA-12=0,得sinA=12,由题意知A为锐角,所以cosA=32.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得1+3bc=b2+c2≥2bc,即bc≤2+3,且当b=c时等号成立.因此12bcsinA≤2+34.所以△ABC面积的最大值为2+34.二、思维提升训练12.C 解析∵cosπ4+α=13,0<α<π2,∴sinπ4+α=223.又cosπ4-β2=33,-π2<β<0,∴sinπ4-β2=63,∴cosα+β2=cosπ4+α-π4-β2=cosπ4+αcosπ4-β2+sinπ4+αsinπ4-β2=13×33+223×63=539.13.A 解析由正弦定理,得sinCsinA=sinAcosC.因为0<A<π,所以sinA>0,从而sinC=cosC.又cosC≠0,所以tanC=1,则C=π4,所以B=3π4-A.于是3sinA-cosB+π4=3sinA-cos(π-A)=3sinA+cosA=2sinA+π6.因为0<A<3π4,所以π6<A+π6<11π12,从而当A+π6=π2,即A=π3时,2sinA+π6取最大值2.故选A.8\n14.203或243 解析在△CDB中,设CD=t,由余弦定理得49=64+t2-2×8t×cosπ3,即t2-8t+15=0,解得t=3或t=5.当t=3时,CA=10,△ABC的面积S=12×10×8×sinπ3=203;当t=5时,CA=12,△ABC的面积S=12×12×8×sinπ3=243.故△ABC的面积为203或243.15.-429 解析因为sinπ4+α=sinπ2-π4-α=cosπ4-α,所以sinπ4+αsinπ4-α=sinπ4-αcosπ4-α=12sinπ2-2α=12cos2α=16,所以cos2α=13.因为π2<α<π,所以π<2α<2π.所以sin2α=-1-132=-223.所以sin4α=2sin2αcos2α=-2×229=-429.16.8 解析sinA=sin(B+C)=2sinBsinC⇒tanB+tanC=2tanBtanC,因为tanA=-tan(B+C)=-tanB+tanC1-tanBtanC,所以tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC=tanA+2tanBtanC.因为△ABC为锐角三角形,所以tanA>0,tanBtanC>0,所以tanA+2tanBtanC≥22tanAtanBtanC,当且仅当tanA=2tanBtanC时,等号成立,即tanAtanBtanC≥22tanAtanBtanC,解得tanAtanBtanC≥8,即最小值为8.17.解(1)由ba-b=sin2CsinA-sin2C及正弦定理,得sinB=sin2C,∴B=2C或B+2C=π.若B=2C,∵π3<C<π2,∴23π<B<π,B+C>π(舍去).若B+2C=π,又A+B+C=π,∴A=C,∴△ABC为等腰三角形.(2)∵|BA+BC|=2,8\n∴a2+c2+2accosB=4.又由(1)知a=c,∴cosB=2-a2a2.而cosB=-cos2C,∴12<cosB<1,∴1<a2<43.∵BA·BC=accosB=a2cosB,且cosB=2-a2a2,∴a2cosB=2-a2∈23,1.∴BA·BC∈23,1.8
