专题能力训练10 三角变换与解三角形能力突破训练1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=5,c=2,cosA=23,则b=( ) A.2B.3C.2D.32.已知cos(π-2α)sinα-π4=-22,则sinα+cosα等于( )A.-72B.72C.12D.-123.△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sinA),则A=( )A.3π4B.π3C.π4D.π64.在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,则sinA=( )A.310B.1010C.55D.310105.若α∈π2,π,3cos2α=sinπ4-α,则sin2α的值为( )A.118B.-118C.1718D.-17186.(2022江苏,5)若tanα-π4=16,则tanα= . 7.(2022全国Ⅱ,文16)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B=.8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin2B=3bsinA.(1)求B;(2)若cosA=13,求sinC的值.8\n9.(2022浙江,18)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-23sinx·cosx(x∈R).(1)求f2π3的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.10.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA,且B为钝角.(1)证明:B-A=π2;(2)求sinA+sinC的取值范围.11.设f(x)=sinxcosx-cos2x+π4.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若fA2=0,a=1,求△ABC面积的最大值.8\n思维提升训练12.若0<α<π2,-π2<β<0,cosπ4+α=13,cosπ4-β2=33,则cosα+β2等于( )A.33B.-33C.539D.-6913.(2022全国Ⅰ,文11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=2,则C=( )A.π12B.π6C.π4D.π314.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=2A,cosA=34,b=5,则△ABC的面积为( )A.1574B.1572C.574D.57215.(2022浙江,14)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是 ,cos∠BDC= . 16.(2022天津红桥区高三模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(sinA-sin8\nB)(a+b)=12a-csinC,则cosB= . 17.在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是 . 18.(2022江苏,16)已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-3),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.##专题能力训练10 三角变换与解三角形能力突破训练1.D 解析由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,即5=b2+4-4b×23,即3b2-8b-3=0,又b>0,解得b=3,故选D.2.D 解析cos(π-2α)sinα-π4=-cos2αsinα-π4=sin2α-π2sinα-π4=2cosα-π4=2cosα+2sinα=-22,∴sinα+cosα=-12,故选D.3.C 解析由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,又因为b=c,所以a2=b2+b2-2b×bcosA=2b2(1-cosA).由已知a2=2b2(1-sinA),所以sinA=cosA,因为A∈(0,π),所以A=π4.4.D 解析(方法1)记角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由题意得,S△ABC=12a·13a=12acsinB,c=23a.由正弦定理,得sinC=23sinA.∵C=3π4-A,∴sinC=sin3π4-A=23sinA,即22cosA+22sinA=23sinA,整理得sinA=-3cosA.8\n∵sin2A+cos2A=1,∴sin2A+19sin2A=1,即sin2A=910,解得sinA=31010(排除负值).故选D.(方法2)记角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由题意得S△ABC=12a·a3=12acsinB,∴c=23a.∴b2=a2+23a2-2a·2a3·22=5a29,即b=5a3.由正弦定理asinA=bsinB得,sinA=asinBb=a×225a3=31010.故选D.5.D 解析∵3cos2α=sinπ4-α,∴3cos2α-3sin2α=22(sinα-cosα),又α∈π2,π,∴sinα-cosα≠0,∴3(sinα+cosα)=-22.平方求得sin2α=-1718.6.75 解析方法一:tanα=tanα-π4+π4=tanα-π4+tanπ41-tanα-π4·tanπ4=16+11-16×1=75.方法二:因为tanα-π4=tanα-tanπ41+tanα·tanπ4=tanα-11+tanα=16,所以tanα=75,答案为75.7.π3 解析由题意和正弦定理,可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,即cosB=12.又因为B∈(0,π),所以B=π3.8.解(1)在△ABC中,由asinA=bsinB,可得asinB=bsinA,又由asin2B=3bsinA,得2asinBcosB=3b·sinA=3asinB,所以cosB=32,得B=π6.(2)由cosA=13,可得sinA=223,则sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinA+π6=32sinA+12cosA=26+16.9.解(1)由sin2π3=32,cos2π3=-12,f2π3=322--122-23×32×-12,得f2π3=2.8\n(2)由cos2x=cos2x-sin2x与sin2x=2sinxcosx得f(x)=-cos2x-3sin2x=-2sin2x+π6.所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z,解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z,所以,f(x)的单调递增区间是π6+kπ,2π3+kπ(k∈Z).10.(1)证明由a=btanA及正弦定理,得sinAcosA=ab=sinAsinB,所以sinB=cosA,即sinB=sinπ2+A.又B为钝角,因此π2+A∈π2,π,故B=π2+A,即B-A=π2.(2)解由(1)知,C=π-(A+B)=π-2A+π2=π2-2A>0,所以A∈0,π4,于是sinA+sinC=sinA+sinπ2-2A=sinA+cos2A=-2sin2A+sinA+1=-2sinA-142+98.因为0<A<π4,所以0<sinA<22,因此22<-2sinA-142+98≤98.由此可知sinA+sinC的取值范围是22,98.11.解(1)由题意知f(x)=sin2x2-1+cos2x+π22=sin2x2-1-sin2x2=sin2x-12.由-π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ,k∈Z,可得-π4+kπ≤x≤π4+kπ,k∈Z;由π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ,k∈Z,可得π4+kπ≤x≤3π4+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是-π4+kπ,π4+kπ(k∈Z);单调递减区间是π4+kπ,3π4+kπ(k∈Z).(2)由fA2=sinA-12=0,得sinA=12,由题意知A为锐角,所以cosA=32.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得1+3bc=b2+c2≥2bc,即bc≤2+3,且当b=c时等号成立.因此12bcsinA≤2+34.所以△ABC面积的最大值为2+34.8\n思维提升训练12.C 解析∵cosπ4+α=13,0<α<π2,∴sinπ4+α=223.又cosπ4-β2=33,-π2<β<0,∴sinπ4-β2=63,∴cosα+β2=cosπ4+α-π4-β2=cosπ4+αcosπ4-β2+sinπ4+αsinπ4-β2=13×33+223×63=539.13.B 解析由题意结合三角形的内角和,可得sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,整理得sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,则sinC(sinA+cosA)=0,因为sinC>0,所以sinA+cosA=0,即tanA=-1,因为A∈(0,π),所以A=3π4.由正弦定理asinA=csinC,得2sin3π4=2sinC,即sinC=12,所以C=π6,故选B.14.A 解析cosA=34,cosC=2cos2A-1=18,则sinC=378,tanC=37,如图,设AD=3x,AB=4x,CD=5-3x,BD=7x.在Rt△DBC中,tanC=BDCD=7x5-3x=37,解得BD=7x=372,S△ABC=12BD·AC=1574.15.152 104 解析如图,取BC中点E,DC中点F,由题意知AE⊥BC,BF⊥CD.8\n在Rt△ABE中,cos∠ABE=BEAB=14,∴cos∠DBC=-14,sin∠DBC=1-116=154.∴S△BCD=12×BD×BC×sin∠DBC=152.∵cos∠DBC=1-2sin2∠DBF=-14,且∠DBF为锐角,∴sin∠DBF=104.在Rt△BDF中,cos∠BDF=sin∠DBF=104.综上可得,△BCD的面积是152,cos∠BDC=104.16.1417.8 解析sinA=sin(B+C)=2sinBsinC⇒tanB+tanC=2tanBtanC,因为tanA=-tan(B+C)=-tanB+tanC1-tanBtanC,所以tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC=tanA+2tanBtanC.因为△ABC为锐角三角形,所以tanA>0,tanBtanC>0,所以tanA+2tanBtanC≥22tanAtanBtanC,当且仅当tanA=2tanBtanC时,等号成立,即tanAtanBtanC≥22tanAtanBtanC,解得tanAtanBtanC≥8,即最小值为8.18.解(1)因为a=(cosx,sinx),b=(3,-3),a∥b,所以-3cosx=3sinx.若cosx=0,则sinx=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cosx≠0.于是tanx=-33.又x∈[0,π],所以x=5π6.(2)f(x)=a·b=(cosx,sinx)·(3,-3)=3cosx-3sinx=23cosx+π6.因为x∈[0,π],所以x+π6∈π6,7π6,从而-1≤cosx+π6≤32.于是,当x+π6=π6,即x=0时,f(x)取到最大值3;当x+π6=π,即x=5π6时,f(x)取到最小值-23.8
