一轮复习数学模拟试题04第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，，则（）（A）（B）（C）（D）2．复数（）（A）（B）（C）（D）3．执行如图所示的程序框图，则输出（）（A）（B）（C）（D）4．函数的零点个数为（）（A）（B）（C）（D）-11-\n5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（）（A）（B）（C）（D）6．过点作圆的两条切线，，为切点，则（）（A）（B）（C）（D）7．设等比数列的公比为，前项和为．则“”是“”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件8．已知函数的定义域为．若常数，对，有，则称函数具有性质．给定下列三个函数：①；②；③．其中，具有性质的函数的序号是（）（A）①（B）③（C）①②（D）②③第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知向量，．若向量与共线，则实数______．10．平行四边形中，为的中点．若在平行四边形内部随机取一点，则点取自△内部的概率为______．-11-\n11．双曲线的渐近线方程为______；离心率为______．12．若函数是奇函数，则______．13．已知函数，其中．当时，的值域是______；若的值域是，则的取值范围是______．14．设函数，集合，且．在直角坐标系中，集合所表示的区域的面积为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△中，内角的对边分别为，且．（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求△的面积．-11-\n16．（本小题满分13分）为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于至之间．将数据分成以下组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生做初检．（Ⅰ）求每组抽取的学生人数；（Ⅱ）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率．17．（本小题满分14分）如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点．（Ⅰ）求线段的长；（Ⅱ）求证：//平面；（Ⅲ）线段上是否存在点，使平面？说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数，其中．（Ⅰ）若是的一个极值点，求的值；（Ⅱ）求的单调区间．-11-\n19．（本小题满分14分）如图，，是椭圆的两个顶点．，直线的斜率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线平行于，与轴分别交于点，与椭圆相交于．证明：△的面积等于△的面积．20．（本小题满分13分）如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且．记为所有这样的数表构成的集合．对于，记为的第行各数之积，为的第列各数之积．令．（Ⅰ）对如下数表，求的值；（Ⅱ）证明：存在，使得，其中；（Ⅲ）给定为奇数，对于所有的，证明：．-11-\n参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B；2．A；3．C；4．B；5．C；6．D；7．A；8．B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．；10．；11．，；12．；13．，；14．．注：11、13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由已知得，………………2分即．解得，或．………………4分因为，故舍去．………………5分所以．………………6分（Ⅱ）解：由余弦定理得．………………8分将，代入上式，整理得．因为，所以．………………11分所以△的面积-11-\n．………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由频率分布直方图知，第，，组的学生人数之比为．…………2分所以，每组抽取的人数分别为：第组：；第组：；第组：．所以从，，组应依次抽取名学生，名学生，名学生．………………5分（Ⅱ）解：记第组的位同学为，，；第组的位同学为，；第组的位同学为．………………6分则从位同学中随机抽取2位同学所有可能的情形为：，共种可能．………………10分其中，这11种情形符合2名学生不在同一组的要求．………………12分故所求概率为．………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接．因为是直三棱柱，所以平面，………………1分所以．………………2分因为，所以平面．………………3分因为，，所以．………………4分（Ⅱ）证明：取中点，连接，．………………5分-11-\n在△中，因为为中点，所以，．在矩形中，因为为中点，所以，．所以，．所以四边形为平行四边形，所以．………………7分因为平面，平面，………………8分所以//平面．………………9分（Ⅲ）解：线段上存在点，且为中点时，有平面．………11分证明如下：连接．在正方形中易证．又平面，所以，从而平面．…………12分所以．………………13分同理可得，所以平面．故线段上存在点，使得平面．………………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：．………………2分依题意，令，得．………………4分经检验，时符合题意．………………5分（Ⅱ）解：①当时，．故的单调减区间为，；无单调增区间．………………6分②当时，．令，得，．………………8分和的情况如下：-11-\n↘↗↘故的单调减区间为，；单调增区间为．………………11分③当时，的定义域为．因为在上恒成立，故的单调减区间为，，；无单调增区间．………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，得………………2分解得，．………………3分所以椭圆的方程为．………………4分（Ⅱ）证明：由于//，设直线的方程为，将其代入，消去，整理得．………………6分设，．所以………………8分证法一：记△的面积是，△的面积是．由，，-11-\n则．………………10分因为，所以，………………13分从而．………………14分证法二：记△的面积是，△的面积是．则线段的中点重合．………………10分因为，所以，．故线段的中点为．因为，，所以线段的中点坐标亦为．………………13分从而．………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：，；，，所以．………………3分（Ⅱ）证明：（ⅰ）对数表：，显然．将数表中的由变为，得到数表，显然．将数表中的由变为，得到数表，显然．依此类推，将数表中的由变为，得到数表．即数表满足：，其余．-11-\n所以，．所以，其中．……………7分【注：数表不唯一】（Ⅲ）证明：用反证法．假设存在，其中为奇数，使得．因为，，所以，，，，，，，这个数中有个，个．令．一方面，由于这个数中有个，个，从而．①另一方面，表示数表中所有元素之积（记这个实数之积为）；也表示，从而．②①、②相互矛盾，从而不存在，使得．即为奇数时，必有．………………13分-11-
