广东省汕头市澄海凤翔中学2022届高考模拟考试（1）文科数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、设为虚数单位，则复数等于（）A．B．C．D．2、已知集合，，，则（）A．B．C．D．或3、已知向量，且，则等于（）A．B．C．D．4、经过圆的圆心且与直线平行的直线方程是（）A．B．C．D．5、已知实数，满足，则目标函数的最大值为（）A．B．C．D．6、在中，，，且的面积为，则边的长为（）A．B．C．D．7、已知一个几何体的三视图及其大小如图，这个几何体的体积（）-18-\nA．B．C．D．8、函数在定义域内的零点个数为（）A．B．C．D．9、有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶次，每次命中的环数如下：甲乙则下列判断正确的是（）A．甲射击的平均成绩比乙好B．乙射击的平均成绩比甲好C．甲比乙的射击成绩稳定D．乙比甲的射击成绩稳定10、设向量，，定义一运算：．已知，，点在的图象上运动，且满足（其中为坐标原点），则的最大值及最小正周期分别是（）A．，B．，C．，D．，二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11～13题）11、已知函数，则．12、已知等差数列的首项，前三项之和，则的通项．13、如图是一程序框图，则输出结果为，．（说明，是赋值语句，也可以写成，或）（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14、（几何证明选讲选做题）如图，圆的割线交圆于、-18-\n两点，割线经过圆心．已知，，，则圆的半径．15、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（）中，直线被圆截得的弦的长是．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知函数（）的图象过点．求的值；在中，角，，所对的边分别为，，，若，，求．-18-\n17、（本小题满分12分）汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从年开始，将对二氧化碳排放量超过的轻型汽车进行惩罚性征税．检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：）．甲乙经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为．从被检测的辆甲品牌轻型汽车中任取辆，求至少有一辆二氧化碳排放量超过的概率是多少？求表中的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性．-18-\n18、（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，和都是以为斜边的等腰直角三角形，、、分别是、、的中点．证明：平面平面；证明：；若，求三棱锥的体积．-18-\n19、（本小题满分14分）设数列的前项和为，点在直线上，．证明数列为等比数列，并求出其通项公式；设，记，求数列的前项和．-18-\n20、（本小题满分14分）已知点在抛物线上，直线（，且）与抛物线相交于，两点，直线，分别交直线于点，．求的值；若，求直线的方程；试判断以线段为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．-18-\n21、（本小题满分14分）已知函数，，函数的图象在点处的切线平行于轴．确定与的关系；若，试讨论函数的单调性；设斜率为的直线与函数的图象交于两点，（），证明：．-18-\n参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）题号12345678910答案ADBACABCDC二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11～13题）11、12、13、（2分）（3分）（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14、15、三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、解：由得：………………1分………………2分………………3分故………………4分………………5分法一：………………6分………………7分-18-\n由知：………………9分………………10分………………11分………………12分法二：………………6分………………7分由知：………………9分………………10分………………11分………………12分17、解：从被检测的5辆甲品牌的轻型汽车中任取2辆，共有10种不同的二氧化碳排放量结果：（80，110），（80，120），（80，140），（80，150），（110，120），（110，140），（110，150），（120，140），（120，150），（140，150）…………2分-18-\n设“至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km”为事件A，则事件A包含以下7种不同的结果：（80，140），（80，150），（110，140），（110，150），（120，140），（120，150），（140，150）…………4分∴答：至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率为0.7…………6分由题可知，，解得…………7分又…………8分∴…………11分∵∴乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好…………12分18、证明：∵E、F分别是AC、BC的中点∴…………1分∵∴…………2分∵…………3分∴…………4分证明：取的中点，连结、，∵△和△都是以为斜边的等腰直角三角形∴…………5分∵∴…………7分-18-\n∵∴…………8分解：在等腰直角三角形中，，是斜边的中点∴，同理…………10分∵∴△是等边三角形∴…………12分∵∴…………14分19、解：…………1分时，…………2分时，，…………3分两式相减得：，…………5分是以为首项，公比为的等比数列…………6分…………7分，则…………9分①②…………10分-18-\n①-②得：…………11分…………13分…………14分20、（1）解：∵点在抛物线上，∴.……………1分第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线的方程为.设点的坐标分别为，依题意，，由消去得，解得.∴.……………2分直线的斜率，故直线的方程为.……………3分令，得，∴点的坐标为.……………4分同理可得点的坐标为.……………5分∴.……………6分-18-\n∵，∴.由，得，解得,或,……………7分∴直线的方程为，或.……………9分（3）设线段的中点坐标为，则.……………10分而，……………11分∴以线段为直径的圆的方程为.展开得.……………12分令，得，解得或.……………13分∴以线段为直径的圆恒过两个定点.……………14分解法2：（2）由（1）得抛物线的方程为.设直线的方程为，点的坐标为，由解得∴点的坐标为.……………2分由消去，得，即，解得或.-18-\n∴，.∴点的坐标为.……………3分同理，设直线的方程为，则点的坐标为，点的坐标为.…………4分∵点在直线上，∴.∴.……………5分又，得，化简得.……………6分，……………7分∵，∴.∴.由，得，解得.……………8分∴直线的方程为，或.……………9分（3）设点是以线段为直径的圆上任意一点，则，……………10分-18-\n得，……………11分整理得，.……………12分令，得，解得或.……………13分∴以线段为直径的圆恒过两个定点.……………14分21、解：依题意得，则由函数的图象在点处的切线平行于轴得：∴…………………3分解：由得…………………4分∵函数的定义域为∴当时，由得，由得即函数在(0,1)上单调递增，在单调递减…………………5分当时，令得或若，即时，由得或，由得即函数在，上单调递增，在单调递减…………………6分若，即时，由得或，由得即函数在，上单调递增，在单调递减…………………7分-18-\n若，即时，在上恒有即函数在上单调递增…………………8分综上得：当时，函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；当时，函数在单调递增，在单调递减；在上单调递增；当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增…………………9分证明：依题意得证，即证因，即证…………………10分令（），即证（）…………………11分令（）则∴在（1，+）上单调递减∴=0，即（）……………①…………………12分令（）则∴在（1，+）上单调递增∴=0，即（）……………②…………………13分-18-\n综①②得（），即…………………14分-18-
