第一章解三角形本章归纳整合高考真题1．(2022·辽宁卷)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a，则等于( )．A．2B．2C.D.解析 ∵asinAsinB＋bcos2A＝a，∴sinAsinAsinB＋sinBcos2A＝sinA，∴sinB＝sinA，∴＝＝.答案 D2．(2022·重庆卷)若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )．A.B．8－4C．1D.解析 由(a＋b)2－c2＝4得(a2＋b2－c2)＋2ab＝4.①∵a2＋b2－c2＝2abcosC，故方程①化为2ab(1＋cosC)＝4.∴ab＝.又∵C＝60°，∴ab＝.答案 A3.(2022·天津卷)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为( )．A.B.C.D.解析 设AB＝a，∴AD＝a，BD＝a，BC＝2BD＝a，在△ABD中，cosA＝＝＝，∴sinA＝＝.4\n由正弦定理知sinC＝·sinA＝×＝.答案 D4．(2022·北京卷)在△ABC中，若b＝5，B＝，tanA＝2，则sinA＝________；a＝________.解析 由tanA＝2得sinA＝2cosA．又sin2A＋cos2A＝1得sinA＝.又∵b＝5，B＝，根据正弦定理，应有＝，∴a＝＝＝2.答案 25．(2022·全国课标卷)在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为________．解析 由正弦定理知＝＝，∴AB＝2sinC，BC＝2sinA.又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sinC＋4sin(120°－C)＝2(sinC＋2sin120°cosC－2cos120°sinC)＝2(sinC＋cosC＋sinC)＝2(2sinC＋cosC)＝2sin(C＋α)，其中tanα＝，α是第一象限角．由于0°<C<120°，且α是第一象限角，因此AB＋2BC有最大值2.答案 26．(2022·全国大纲卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A－C＝90°，a＋c＝b，求C.解 由a＋c＝b及正弦定理可得sinA＋sinC＝sinB.又由于A－C＝90°，B＝180°－(A＋C)，故cosC＋sinC＝sin(A＋C)＝sin(90°＋2C)＝cos2C.cosC＋sinC＝cos2C，cos(45°－C)＝cos2C.因为0°<C<90°，所以2C＝45°－C，C＝15°.4\n7．(2022·安徽高考)在△ABC中，若a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝，b＝，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．解 由1＋2cos(B＋C)＝0和B＋C＝π－A，得1－2cosA＝0，所以cosA＝，所以sinA＝.再由正弦定理，得sinB＝＝.由b<a知B<A，所以B不是最大角，B<，从而cosB＝＝.由上述结果知sinC＝sin(A＋B)＝.设边BC上的高为h，则有h＝bsinC＝.8．(2022·山东卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.(1)求的值；(2)若cosB＝，b＝2，求△ABC的面积S.解 (1)由正弦定理，设＝＝＝k，则＝＝，所以＝.即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．又A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA.因此＝2.(2)由＝2得c＝2a.4\n由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝，b＝2，得4＝a2＋4a2－4a2×.解得a＝1.从而c＝2.又因为cosB＝，且0<B<π，所以sinB＝.因此S＝acsinB＝×1×2×＝.4
