课时作业(五)1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )A．1440种 B．960种C．720种D．480种答案 B解析 从5名志愿者中选2人排两端有A种，2位老人排列有A种，其余3人和老人排列有A种，故共有A×A×A＝960(种)，选B.2．A、B、C、D、E五位同学参加速算比赛，若每个同学计算的速度各不相同，则A同学比B同学先算完的比赛结果共有( )A．260种B．120种C．60种D．30种答案 C解析 ＝60.3．晚会上有8个唱歌节目和3个舞蹈节目，若3个舞蹈在节目单中要隔开，则不同节目单的种数为( )A．AB．AC．AAD．AA答案 C解析 先排8个唱歌节目共有A种排法，8个节目产生9个空隙，再插入3个舞蹈节目有A种插法，据分步计数原理共有A×A种不同的节目单．4．七种新产品排成一排参加展览，要求甲、乙两种产品之间恰有两种其他产品，则不同的排列方法共有( )A．120种 B．240种C．480种D．960种答案 D解析 分步：第一步：从甲、乙以外的五种产品作任选两种产品放在甲、乙中间，有10种方法；第二步：把甲、乙与其中间的两种产品看做一个元素与其他三种产品，进行排列有A种方法；第三步：对甲、乙进行排列有A种方法；5\n第四步：对甲、乙中间的两种产品进行排列有A种方法．所以有10AAA＝960种方法．5．5个人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为( )A．18B．24C．36D．48答案 C解析 分步：①从甲、乙之外的3人中选1人站甲乙之间A种方法；②甲、乙全排有A种方法；③甲、乙及中间与另外两人排列有A种方法．∴总的排法A·A·A＝36种．6．在数字1,2,3与符号“＋，－”五个元素所在的全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列的个数是( )A．6B．12C．18D．24答案 B解析 此题为插空问题，＋，－两个符号形成了3个空，正好可将1,2,3放入3个空中，共有A·A＝12种不同的排列，答案为B.7．将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i＝1,2，…，6)．若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1<a3<a5，则不同的排列方法有________种．(用数字作答)答案 30解析 由题意a1≠1，a3≠3，a5≠5，且a1<a3<a5，第一步，先安排a1，a3，a5共有5种方法；第二步，再安排a2，a4，a6，有A种方法，由分步计数原理得共有5×A＝30种不同的排列方法．8．用数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1、2相邻的偶数有________个(用数字作答)．答案 24解析 若末位为0，则有A·A＝12种．若末位为2，则有A·A＝4种．若末位为4，则有两种情况：①1或2在首位有A·A＝4种．②3在首位有A·A＝4种．故共有24种．9．一排有8个座位，有3人入座，每人左右都有空位，则不同的坐法有________种．答案 24解析 5\n3人入座，左右都有空位，要分类讨论何处有2个空位情形，思路较复杂，不易讨论清楚，此时不妨优先考虑空位的情形，3人占有3个座位后还有5个空位，把这5个空位记为A、B、C、D、E，则这3个人所占有的座位就排在这5个字母之间的4个空档中某3个空档，有A＝24种排法．10．有n(n∈N*)件不同的产品排成一排，若其中A、B两件产品排在一起的不同排法有48种，则n＝________.答案 5解析 ∵A·A＝48，∴A＝24.∴n－1＝4，n＝5.11．用1,2,3,4,5,6,7组成无重复数字的七位数，若1,3,5,7的次序一定，则有多少个这样的七位数？答案 210解析 方法一 7个数占7个位置，只需在7个位置中选3个排2,4,6即可，剩下的4个位置便只有一种排法．有A·1＝210(个)．方法二 1,3,5,7次序不定有A＝24种不同排法，故1,3,5,7次序一定只占排法总数的次机会，故有＝＝210(个)．12．4名男生、3名女生排成一排，3名女生中恰有两名相邻的排法有多少种？答案 2880解析 4个男生排成一排有A种排法，把3个女生分成两组有3种分法，对于男学生的每一种排法，从5个空中选2个，把两组女生分别插入有A种插法，插入后相邻的2个女学生可以交换位置，有A种方法，共有不同的排法3AAA＝3×24×20×2＝2880(种)．13．3名男生、4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排队方案有多少种？(1)甲不站中间，也不站两端；(2)甲、乙两人必须站两端；(3)甲不站左端，乙不站右端；(4)甲、乙两人必须相邻；(5)甲、乙两人不得相邻；(6)任何两个女生不得相邻．思路分析 由题目可获取以下主要信息：本题是有限制条件的排列问题．解答本题应优先考虑限制条件，遵循特殊元素特殊位置优先考虑的原则．解析 (1)分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的6人中选3人排列，有A种站法，然后再排其余位置，有A种站法，所以共有A·A＝2880种不同站法．(2)甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有A种，其余5人全排列，有A种．∴共有AA＝240种．5\n(3)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置．方法一：特殊元素法．甲在最右边时，其他的可全排，有A种．甲不在最右边时，可从余下5个位置中任选一个，有A种；而乙可排在除去最右边位置后剩余的5个中的一个上，有A种，其余人全排列，共有AAA种．由分类计数原理：A＋AAA＝3720种．方法二：特殊位置法．先排最左边，除去甲外，有A种，余下6个位置全排有A种，但应剔除乙在最右边时的排法AA种．∴共有AA－AA＝3720种．方法三：间接法．7个人全排，共A种，其中，不合条件的有甲在最左边时A种；乙在最右边时A种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A种．∴共有A－2A＋A＝3720种．(4)(捆绑法)：把甲、乙两人看作一个元素，首先与其余5人相当于六个元素进行全排列，然后甲、乙两人再进行排列，所以共有A·A＝1440种站法．(5)方法一(直接法—插空)：先让其余的5人全排列，再让甲、乙两人在每两人之间(含两端)的6个位置插入排列，所以共有A·A＝3600种不同站法．方法二(间接法)：不考虑限制条件，共有A种站法，除去甲、乙相邻的排法A·A.所以共有A－AA＝3600种站法．(6)(直接法—插空)：先排男生，男生在3个位置进行全排列，有A种站法，相应地男生之间(含两端)插入女生，女生有A种站法．所以共有A·A＝144种不同站法．点评 (1)此类“排队”问题和“排数”问题类似，主要是从特殊位置或特殊元素两个方面考虑，当正面考虑情况复杂时，考虑用排除法．(2)直接法解题一般采用元素分析法和位置分析法，要注意分类时不重不漏，分步要连续、独立；间接法要注意不符合条件的情形，做到不重不漏．(3)处理元素“相邻”、“不相邻”或“元素定序”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻一般用“捆绑法”，元素不相邻问题一般用“插空法”．►重点班选做题14．(2022·成都模拟)甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有( )A．20种B．30种C．40种D．60种5\n答案 A15．一条连椅有7个座位，4人就坐，3个空座位中恰有两个连在一起的坐法有________种．答案 480解析 4人排成一排有A种排法，在每一种排法的5个空中选2个，分别插入2个空座位和1个空座位，有A种插法，共有不同就坐方法AA＝24×20＝480种．5
