课时作业(五)一、选择题1．函数y＝2sinxcosx的导数为( )A．y′＝cosx B．y′＝2cos2xC．y′＝2(sin2x－cos2x)D．y′＝－sin2x答案 B解析 y′＝(2sinxcosx)′＝2(sinx)′·cosx＋2sinx(cosx)′＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x.2．函数f(x)＝的导数是( )A.B.C.D.答案 C解析 f′(x)＝＝.3．函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为( )A．abB．－a(a－b)C．0D．a－b答案 D解析 y′＝(x－a)′(x－b)＋(x－a)·(x－b)′，∴y′＝2x－(a＋b)，y′|x＝a＝2a－a－b＝a－b.4．函数y＝x·lnx的导数是( )A．xB.C．lnx＋1D．lnx＋x答案 C解析 y′＝x′·lnx＋x·(lnx)′＝lnx＋x·＝lnx＋1.5．函数y＝的导数是( )6\nA．－B．－sinxC．－D．－答案 C解析 y′＝()′＝＝.6．曲线y＝在点(1，－1)处的切线方程为( )A．y＝x－2B．y＝－3x＋2C．y＝2x－3D．y＝－2x＋1答案 D7．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是( )A.B.C.D.答案 D解析 f′(x)＝3ax2＋6x，f′(－1)＝3a－6＝4，a＝.8．设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，点P处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.B.C.∪D.∪答案 D解析 由y′＝3x2－，易知y′≥－，即tanα≥－.∴0≤α<或π≤α<π.9．函数y＝的导数是( )A.B.6\nC.D.答案 D解析 y′＝＝.10．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于( )A．0B．－4C．－2D．2答案 B解析 f′(x)＝2x＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.11．已知f()＝，则f′(x)＝( )A.B．－C.D．－答案 D解析 ∵f()＝＝，∴f(x)＝.∴f′(x)＝－.12．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( )A．4B．－C．2D．－答案 A解析 依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，f′(1)＝g′(1)＋2＝4，选A.二、填空题13．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为______________．答案 3x－y－11＝0解析 y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3≥3，当且仅当x＝－1时取等号，当x＝－1，时y＝－14.6\n∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.14．设f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′()＝，则a＝________，b＝________.答案 0 －1解析 f′(x)＝2ax－bcosx，∴f′(0)＝－b＝1.f′()＝2a·－b·cos＝，得a＝0，b＝－1.三、解答题15．求下列函数的导数．(1)f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)；(2)f(x)＝＋；(3)f(x)＝.解析 (1)∵f′(x)＝[2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5]′，∴f′(x)＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.(2)∵f(x)＝＋＝＋＝＝－2，∴f′(x)＝(－2)′＝＝.(3)f′(x)＝(＋)′＝()′＋()′＝＋＝＝.16．已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图像都过点P(2,0)，且在点P处有公共切线，求f(x)、g(x)的表达式．解析 ∵f(x)＝2x3＋ax的图像过点P(2,0)，6\n∴a＝－8.∴f(x)＝2x3－8x.∴f′(x)＝6x2－8.对于g(x)＝bx2＋c的图像过点P(2,0)，则4b＋c＝0.又g′(x)＝2bx，∴g′(2)＝4b＝f′(2)＝16.∴b＝4.∴c＝－16. ∴g(x)＝4x2－16.综上可知，f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16.17．若直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相切，求k的值．解析 设切点坐标为(x0，y0)，y′|x＝x0＝3x－6x0＋2＝k.若x0＝0，则k＝2.若x0≠0，由y0＝kx0，得k＝.∴3x－6x0＋2＝，即3x－6x0＋2＝.解之，得x0＝.∴k＝3×()2－6×＋2＝－.综上，k＝2或k＝－.►重点班·选做题18．已知曲线S：y＝3x－x3及点P(2,2)，则过点P可向S引切线，其切线条数为( )A．0B．1C．2D．3答案 D解析 显然P不在S上，设切点为(x0，y0)，由y′＝3－3x2，得y′|x＝x0＝3－3x0.切线方程为y－(3x0－x0)＝(3－3x0)(x－x0)．∵P(2,2)在切线上，∴2－(3x0－x0)＝(3－3x0)(2－x0)，即x0－3x0＋2＝0.∴(x0－1)(x0－2x0－2)＝0.由x0－1＝0，得x0＝1.由x0－2x0－2＝0，得x0＝1±.∵有三个切点，∴由P向S作切线可以作3条．19．曲线y＝x(x＋1)(2－x)有两条平行于y＝x的切线，则两切线之间的距离为________．答案 6\n解析 y＝x(x＋1)(2－x)＝－x3＋x2＋2x，y′＝－3x2＋2x＋2，令－3x2＋2x＋2＝1，得x1＝1或x2＝－.∴两个切点分别为(1,2)和(－，－)．切线方程为x－y＋1＝0和x－y－＝0.∴d＝＝.1．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l1，l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．分析 (1)求曲线在某点处的切线方程的步骤：先求曲线在这点处的导数，这点对应的导数值即为过此点切线的斜率，再用点斜式写出直线方程；(2)求面积用S＝a·h即可完成．解析 (1)因为y′＝2x＋1，则直线l1的斜率k1＝2×1＋1＝3，则直线l1的方程为y＝3x－3，设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，则l2的方程为y＝(2b＋1)x－b2－2.因为l1⊥l2，则有2b＋1＝－，b＝－.所以直线l2的方程为y＝－x－.(2)解方程组得所以直线l1和l2的交点坐标为(，－)，l1，l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)，(－，0)．所以所求三角形的面积S＝××|－|＝.6
