阶段质量检测（一）解三角形一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则C＝( )A.或 B.C.D.解析：选C 由＝，得sinC＝.∵BC＝3，AB＝，∴A>C，则C为锐角，故C＝.2．在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是( )A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形解析：选B ∵sinA＝sinC且A，C是三角形内角，∴A＝C或A＋C＝π(舍去)．∴△ABC是等腰三角形．3．在△ABC中，a＝k，b＝k(k＞0)，A＝45°，则满足条件的三角形有( )A．0个B．1个C．2个D．无数个解析：选A 由正弦定理得＝，∴sinB＝＝＞1，即sinB＞1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形．4．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，则cosB＝( )A．±B.C．－D.解析：选A 因为＝，所以＝，解得sinB＝.因为b>a，所以B>A，故B有两解，所以cosB＝±.-9-5．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为( )A．－B.C．－D.解析：选B 设等腰三角形的底边长为a，顶角为θ，则腰长为2a，由余弦定理得，cosθ＝＝.6．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为，那么b等于( )A.B．1＋C.D．2解析：选B ∵S△ABC＝acsinB，∴ac＝6.又∵b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2ac·cos30°＝4b2－12－6，∴b2＝4＋2，∴b＝1＋.7．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是( )A．(2，＋∞)B．(－∞，0)C.D.解析：选D 由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk，(m>0)，∵即∴k>.8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2＝，则△ABC的形状为( )A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形解析：选B 由已知可得＝－，即cosA＝，b＝ccosA.-9-法一：由余弦定理得cosA＝，则b＝c·，所以c2＝a2＋b2，由此知△ABC为直角三角形．法二：由正弦定理，得sinB＝sinCcosA．在△ABC中，sinB＝sin(A＋C)，从而有sinAcosC＋cosAsinC＝sinCcosA，即sinAcosC＝0.在△ABC中，sinA≠0，所以cosC＝0.由此得C＝，故△ABC为直角三角形．9．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为( )A．2B．8C.D.解析：选C ∵＝＝＝2R＝8，∴sinC＝，∴S△ABC＝absinC＝＝＝.10．在△ABC中，三边长分别为a－2，a，a＋2，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为( )A.B.C.D.解析：选B ∵三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a＋2，∵sinα＝，∴α＝120°.由余弦定理得(a＋2)2＝(a－2)2＋a2＋a(a－2)，即a2＝5a，故a＝5，故三边长为3,5,7，S△ABC＝×3×5×sin120°＝.11．如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15海里的C处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为( )-9-A.小时B．1小时C.小时D．2小时解析：选B 在△OBC中，由余弦定理，得CB2＝CO2＋OB2－2CO·OBcos120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB＝35，＝1(小时)，因此甲船到达B处需要的时间为1小时．12.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为( )A.B.C.D.解析：选D 设BD＝a，则BC＝2a，AB＝AD＝a.在△ABD中，由余弦定理，得cosA＝＝＝.又∵A为△ABC的内角，∴sinA＝.在△ABC中，由正弦定理得，＝.∴sinC＝·sinA＝·＝.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13．在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝________.解析：A＝180°－B－C＝30°，由正弦定理得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC，即a∶b∶c＝sin30°∶sin30°∶sin120°＝1∶1∶.答案：1∶1∶14．已知△ABC中，3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，则cosC的值为________．-9-解析：由3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，得c2＝a2＋b2－ab.根据余弦定理，cosC＝＝＝，所以cosC＝.答案：15．在△ABC中，已知cosA＝，cosB＝，b＝3，则c＝________.解析：在△ABC中，∵cosA＝>0，∴sinA＝.∵cosB＝>0，∴sinB＝.∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝.由正弦定理知＝，∴c＝＝＝.答案：16．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.解析：如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1(km)．-9-由正弦定理得＝，∴BC＝·sin15°＝(km)．设C到直线AB的距离为d，则d＝BC·sin75°＝×＝(km)．答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A.(1)求cosA的值；(2)求c的值．解：(1)因为a＝3，b＝2，B＝2A，所以在△ABC中，由正弦定理得＝.所以＝.故cosA＝.(2)由(1)知cosA＝，所以sinA＝＝.又因为B＝2A，所以cosB＝2cos2A－1＝.所以sinB＝＝.在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.所以c＝＝5.18.(12分)如图，观测站C在目标A的南偏西20°方向，经过A处有一条南偏东40°走向的公路，在C处观测到与C相距31km的B处有一人正沿此公路向A处行走，走20km到达D处，此时测得C，D-9-相距21km，求D，A之间的距离．解：由已知，得CD＝21km，BC＝31km，BD＝20km，在△BCD中，由余弦定理，得cos∠BDC＝＝－.设∠ADC＝α，则cosα＝，sinα＝，在△ACD中，由正弦定理得，＝，得＝，所以AD＝sin(60°＋α)＝＝15(km)，即所求D，A之间的距离为15km.19．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，sinA＝，b＝2.(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面积S.解：(1)∵A，B，C为△ABC的内角，且B＝，sinA＝，∴C＝－A，cosA＝，∴sinC＝sin＝cosA－sinA＝.(2)由(1)知sinC＝，又∵B＝，b＝2，∴在△ABC中，由正弦定理得a＝＝，∴S＝absinC＝××2×＝.20．(12分)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cosA＝0.(1)求角A的值；-9-(2)若a＝2，b＝2，求c的值．解：(1)∵cosA＝2cos2－1，∴2cos2＝cosA＋1.又2cos2＋cosA＝0，∴2cosA＋1＝0，∴cosA＝－，∴A＝120°.(2)由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccosA，又a＝2，b＝2，cosA＝－，∴(2)2＝22＋c2－2×2×c×，化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去)．21.(12分)如图，某海轮以60海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离．解：由题意知AB＝40，∠A＝120°，∠ABP＝30°，所以∠APB＝30°，所以AP＝40，所以BP2＝AB2＋AP2－2AP·AB·cos120°＝402＋402－2×40×40×＝402×3，所以BP＝40.又∠PBC＝90°，BC＝60×＝80，所以PC2＝BP2＋BC2＝(40)2＋802＝11200，所以PC＝40海里．22．(12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sinA＋cosA＝2.(1)求角A的大小；-9-(2)现给出三个条件：①a＝2；②B＝；③c＝b.试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的方案并以此为依据求△ABC的面积．(写出一种方案即可)解：(1)依题意得2sin＝2，即sin＝1，∵0
