星期四 (函数与导数)2022年____月____日函数与导数知识(命题意图：考查含参数的函数单调性的求解以及不等式恒成立条件下的参数范围的求取．考查考生的分类讨论思想以及转化与化归思想的应用．)已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a＜－1，如果对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|，求a的取值范围．解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＝.当a≥0时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－1时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－1＜a＜0时，令f′(x)＝0，解得x＝.即x∈时，f′(x)＞0；x∈时，f′(x)＜0.故f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)法一 不妨设x1≤x2，而a＜－1，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，从而对任意x1、x2∈(0，＋∞)，恒有|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|⇔f(x1)－f(x2)≥4(x2－x1)⇔f(x1)＋4x1≥f(x2)＋4x2.令g(x)＝f(x)＋4x，则g′(x)＝＋2ax＋4，则f(x1)＋4x1≥f(x2)＋4x2等价于g(x)在(0，＋∞)上单调递减，即g′(x)＝＋2ax＋4≤0，2\n从而a≤＝＝－2，故a的取值范围为(－∞，－2]．法二 a≤.设φ(x)＝，则φ′(x)＝＝＝＝.当x∈时，φ′(x)＜0，φ(x)为减函数，x∈时，φ′(x)＞0，φ(x)为增函数，∴φ(x)min＝φ＝－2，∴a的取值范围为(－∞，－2]．2
