星期三 (解析几何) 2022年____月____日解析几何知识(命题意图：考查椭圆与圆知识的交汇，主要涉及到椭圆方程的求解，平面向量的模与数量积的转化，直线与椭圆方程联立，圆的方程的求解等．)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2为左、右焦点，B为短轴端点，且S△BF1F2＝4，离心率为，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，且满足|＋|＝|－|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．解 (1)因为椭圆C：＋＝1(a＞0，b＞0)，由题意得S△BF1F2＝×2c×b＝4，e＝＝，a2＝b2＋c2，解得椭圆C的方程为＋＝1.(2)假设存在圆心在原点的圆x2＋y2＝r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M，N，因为|＋|＝|－|，所以有·＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为y＝kx＋m，解方程组得x2＋2(kx＋m)2＝8，即(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，则Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝8(8k2－m2＋4)＞0，即8k2－m2＋4＞0，∴x1＋x2＝－，x1x2＝；y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝.2\n要使·＝0，需x1x2＋y1y2＝0，即＋＝0，所以3m2－8k2－8＝0，所以k2＝≥0.又8k2－m2＋4＞0，所以所以m2≥，即m≥或m≤－，因为直线y＝kx＋m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r＝，r2＝＝＝，r＝，所求的圆为x2＋y2＝，此时圆的切线y＝kx＋m都满足m≥或m≤－，而当切线的斜率不存在时，切线为x＝±，与椭圆＋＝1的两个交点为或满足·＝0，综上，存在圆心在原点的圆x2＋y2＝满足条件．2
