星期一 (三角与立体几何) 2022年____月____日1．三角知识(命题意图：考查解三角形的知识与数列知识的交汇问题，主要涉及正弦定理、余弦定理以及等差中项的应用．)在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．(1)若·＝，b＝，求a＋c的值；(2)求2sinA－sinC的取值范围．解 (1)因为A，B，C成等差数列，所以B＝.因为·＝，即accosB＝，所以ac＝，即ac＝3，因为b＝，b2＝a2＋c2－2accosB，所以a2＋c2－ac＝3，即(a＋c)2－3ac＝3，所以(a＋c)2＝12，所以a＋c＝2.(2)由(1)知2sinA－sinC＝2sin－sinC＝2－sinC＝cosC.因为0＜C＜，所以cosC∈，所以2sinA－sinC的取值范围是.2．立体几何知识(命题意图：以平面图形翻折成空间几何体为载体，考查线线、线面垂直关系的转化，考查用空间向量法求二面角的大小等．)在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE∶EB＝CF∶FA＝CP∶PB＝1∶2(如图1)．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连接A1B，A1P(如图2)3\n(1)求证：A1E⊥平面BEP；(2)求二面角B－A1P－F的余弦值的大小．(1)证明：不妨设正三角形ABC的边长为3.在图1中，取BE的中点D，连接DF.∵AE∶EB＝CF∶FA＝1∶2，∴AF＝AD＝2.而∠A＝60°，∴△ADF是正三角形．又AE＝DE＝1，∴EF⊥AD.在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1－EF－B的平面角．由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE.又BE∩EF＝E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP.(2)解 由(1)知，即A1E⊥平面BEP，BE⊥EF.以E为原点，分别以EB，EF，EA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图3所示的空间直角坐标系．图3则A1(0，0，1)，B(2，0，0)，F(0，，0)，P(1，，0)．∴＝(2，0，－1)，＝(1，，－1)，＝(0，，－1)．3\n设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面A1BP和平面A1PF的法向量，由得取y1＝1，得m＝(，1，2)．由得取y2＝1，得n＝(0，1，)．所以cos〈m，n〉＝＝.因为二面角B－A1P－F为钝角，所以二面角B－A1P－F的余弦值为－.3
