星期四 (函数与导数问题) 2022年____月____日已知函数f(x)＝kex－x2(其中k∈R，e是自然对数的底数．(1)若k＜0，试判断函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)若k＝2，当x∈(0，＋∞)时，试比较f(x)与2的大小；(3)若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，求k的取值范围，并证明0＜f(x1)＜1.解 (1)由f′(x)＝kex－2x可知，当k＜0时，由于x∈(0，＋∞)，f′(x)＝kex－2x＜0，故函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(2)当k＝2时，f(x)＝2ex－x2，则f′(x)＝2ex－2x，令h(x)＝2ex－2x，h′(x)＝2ex－2，由于x∈(0，＋∞)，故h′(x)＝2ex－2＞0，于是h(x)＝2ex－2x在(0，＋∞)为增函数，所以h(x)＝2ex－2x＞h(0)＝2＞0，即f′(x)＝2ex－2x＞0在(0，＋∞)恒成立，从而f(x)＝2ex－x2在(0，＋∞)为增函数，故f(x)＝2ex－x2＞f(0)＝2.(3)函数f(x)有两个极值点x1，x2，则x1，x2是f′(x)＝kex－2x＝0的两个根，即方程k＝有两个根，设φ(x)＝，则φ′(x)＝，当x＜0时，φ′(x)＞0，函数φ(x)单调递增且φ(x)＜0；当0＜x＜1时，φ′(x)＞0，函数φ(x)单调递增且φ(x)＞0；当x＞1时，φ′(x)＜0，函数φ(x)单调递减且φ(x)＞0.要使k＝有两个根，只需0＜k＜φ(1)＝，如图所示，2\n故实数k的取值范围是(0，)．又由上可知函数f(x)的两个极值点x1，x2满足0＜x1＜1＜x2，由f′(x1)＝kex1－2x1＝0，得k＝.∴f(x1)＝kex1－x＝ex1－x＝－x＋2x1＝－(x1－1)2＋1，由于x1∈(0，1)，故0＜－(x1－1)2＋1＜1，所以0＜f(x1)＜1.2
