2022届高三各地模拟试题汇编（数列解答题）1.（（合肥市第四次三校联考）17题12分）已知等差数列满足：，，的前n项和为．(Ⅰ)求及；(Ⅱ)求数列的前项和为．解：(Ⅰ)设等差数列的公差为，因为，，所以有，解得，，所以；．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，，所以，所以．（（合肥市第四次三校联考）21题14分）已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中为正实数(Ⅰ)用表示；(Ⅱ),若，试证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；(Ⅲ)若数列的前项和，记数列的前项和为，求.解：(Ⅰ)由题可得，所以在曲线上点处的切线方程为，即令，得，即-9-\n由题意得，所以(Ⅱ)因为，所以即，所以数列为等比数列故(Ⅲ)当时，当时，所以数列的通项公式为，故数列的通项公式为①①得：②①②得：故3.（江南十校2022届高三上学期期末大联考）19．（本小题满分13分）设是坐标平面上圆心在x轴非负半轴上的一列圆（其中为坐标原点），且圆和圆相外切，并均与直线x+=0相切，记圆的半径为（1）求圆的方程。（2）求数列{}的通项公式，并求数列{.}的前n项和。-9-\n【知识点】数列求和D4【答案】（1）（2）=n【解析】（1）,圆的方程为。（2）如图，依题意知tan=,sin==2,同理=2圆和圆相外切，=-=2（-）=+，即=数列{}是首项为，公比为的等比数列，=.=记=-（2n-3）-9-\n两式相减得=2n.故=n【思路点拨】（1）,圆的方程为。（2）两式相减得=2n.故=n4(2022滁州市高高级中学联谊会高三第一学期期末联考)20、（本小题满分13分）设为数列的前项和，且，，．证明：数列为等比数列；求．解析：（Ⅰ）an＋1＝Sn＋1－Sn，n(Sn＋1－Sn)＝(n＋2)Sn＋n(n＋1)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn＋n(n＋1)，则＝2×＋1，＋1＝2(＋1)，故数列{＋1}为等比数列．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知＋1＝(＋1)·2n－1＝2n，Sn＝n·2n－n，Tn＝(1·2＋2·22＋…＋n·2n)－(1＋2＋…＋n)，-9-\n设M＝1·2＋2·22＋…＋n·2n，则2M＝1·22＋2·23＋…＋n·2n＋1，∴－M＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1，∴M＝(n－1)·2n＋1＋2，∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋2－．（13分）5.(2022届淮南市高三第一次模拟考试)（Ⅰ）解：∵…………………1分∴∴……………………………………………………3分又∵……………………………………4分∴……………………………5分（Ⅱ）证明：…………………….6分……8分∴-9-\n又∵………………………………………13分∴原式得证6.（2022届安庆一中、安师大附中期末联考）19、（本小题12分）设数列满足，且.（1）证明:数列为等比数列；（2）求数列的前项和.证明(1),又所以数列为等比数列；……………………5分（2）由（1）知，，……………………6分设……………………10分……………………12分7.(2022安徽省示范高中高三11月阶段测评)解析：（Ⅰ）当时，由，两式相减得由得，∴.（6分）-9-\n（Ⅱ）由（Ⅰ）得故（12分）8.(2022安徽省示范高中高三11月阶段测评)解：（Ⅰ）由又－＝－＝－＝1，∴{}是等差数列．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知＝＋(n－1)×1＝n，解得an＝，lgan＝2[lg(n＋1)－lgn]，∴lga1＋lga2＋…＋lgan＝2[lg2－lg1＋lg3－lg2＋…＋lg(n＋1)－lgn]＝2lg(n＋1)＞4，n＞99，∴最小自然数n的值为100．（13分）10.(2022安徽省示范高中高三11月阶段测评)解析：（Ⅰ）设数列的公比为，由已知得可知又故∴S n＝2n－1．（6分）（Ⅱ）bn＝n·2n－n，Tn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n－(1＋2＋…＋n)，-9-\n令M＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，则2M＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，－M＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1，M＝(n－1)·2n＋1＋2，∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋2－．（13分）11.（金榜教育·2022届安徽省示范高中高三第三次联考）【解】（Ⅰ）设的公差为，由已知条件，，解出，．所以．…………6分（Ⅱ）．所以时，取到最大值.…12分12.（金榜教育·2022届安徽省示范高中高三第三次联考）【解】（Ⅰ），，…………2分，又，，数列是以为首项，为公比的等比数列．…………6分-9-\n（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，．……8分假设存在互不相等的正整数满足条件，则有,所以化简得，即，…………10分因为，所以得.但是，当且仅当时等号成立，这与互不相等矛盾，所以不存在互不相等的正整数满足题给的条件。…………13分-9-
