专题能力训练4 算法与推理一、能力突破训练1.(2022天津南开中学高三月考)执行如图所示的程序框图,若输入的a值为1,则输出的k值为( ) A.1B.2C.3D.4答案：B2.已知执行如图所示的程序框图,输出的S=485,则判断框内的条件可以是( )A.k<5?B.k>7?C.k≤5?D.k≤6?答案：C解析：第一次运行,S=3×1+2=5,k=2;第二次运行,S=3×5+2=17,k=3;第三次运行,S=3×17+2=53,k=4;第四次运行,S=3×53+2=161,k=5;第五次运行,S=3×161+2=485,k=6.此时要输出485,即判断框内的条件不成立,由于6≤5不成立,故选C.3.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cosx)'=-sinx,由归纳推理得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=( )A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)答案：D解析：由已知得偶函数的导函数为奇函数,故g(-x)=-g(x).4.8\n执行如图所示的程序框图,若输出的b的值为4,则图中判断框内①处应填( )A.2B.3C.4D.5答案：A解析：当a=1时,b=1,不满足输出条件,故应执行循环体,执行完循环体后,b=2,a=2;当a=2时,b=2,不满足输出条件,故应执行循环体,执行完循环体后,b=4,a=3;当a=3时,b=4,满足输出条件,故应退出循环,故判断框内①处应填2.5.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是( )A.1B.2C.3D.4答案：A解析：第一次运行,M=,S=log2不是整数;第二次运行,M=,S=log2+log2=log2不是整数;第三次运行,M=,S=log2+log2=log2=1是整数,输出的S是1.6.执行如图所示的程序框图,输出的S值是( )A.B.C.0D.-答案：C解析：由题意知,该框图是求数列{an}的前2016项和,其中an=sin.因为数列{an}是周期为6的周期数列,且a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,又因为2016=6×336,所以前2016项和S2016=0,故选C.8\n7.(2022天津,文4)阅读下面的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为19,则输出N的值为( )A.0B.1C.2D.3答案：C解析：运行程序.当输入N的值为19,则N的值依次为18,6,2.∵2<3,∴输出N的值为2.故选C.8.如图所示的程序框图输出的所有点都在函数( )A.y=x+1的图象上B.y=2x的图象上C.y=2x的图象上D.y=2x-1的图象上答案：D解析：由题可知,输入x=1,y=1,由于1≤4,输出点(1,1),进入循环,x=1+1=2,y=2×1=2,由于2≤4,输出点(2,2),进入循环,x=2+1=3,y=2×2=4,由于3≤4,输出点(3,4),进入循环,x=3+1=4,y=2×4=8,由于4≤4,输出点(4,8),进入循环,x=4+1=5>4,循环结束;故点(1,1),(2,2),(3,4),(4,8)均在函数y=2x-1的图象上.9.观察等式:f+f=1;f+f+f=;f+f+f+f=2;f+f+f+f+f=;……由以上几个等式的规律可猜想f+f+f+…+f+f= . 答案：1008解析：从所给四个等式看:等式右边依次为1,,2,,将其变为,,,,可以得到右边是一个分数,分母为2,分子与左边最后一项中自变量的分子相同,所以f+f+f+…+f=1008.10.执行下面的程序框图,若输入n的值为3,则输出的S的值为 . 8\n答案：1解析：开始:i=1,S=0,第一次运算:S=0+-=-1,显然1≥3不成立,所以i=1+1=2;第二次运算:S=(-1)+-=-1,显然2≥3不成立,所以i=2+1=3;第三次运算:S=(-1)+-=2-1=1,因为3≥3成立,所以输出S=1.11.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 . 答案：1和3解析：由丙说的话可知,丙的卡片上的数字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的数字是“1和2”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和3”,此时与甲说的话一致;若丙的卡片上的数字是“1和3”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和2”,此时与甲说的话矛盾.综上可知,甲的卡片上的数字是“1和3”.12.(2022北京,文14)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:(ⅰ)男学生人数多于女学生人数;(ⅱ)女学生人数多于教师人数;(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为 ; ②该小组人数的最小值为 . 答案：①6 ②12解析：设男学生人数为x,女学生人数为y,教师人数为z,则x,y,z都是正整数,且即2z>x>y>z,x,y,z∈N*.①教师人数为4,即z=4,8>x>y>4,所以y的最大值为6,故女学生人数的最大值为6.②由题意知2z>x>y>z,x,y,z∈N*.8\n当z=1时,2>x>y>1,x,y不存在;当z=2时,4>x>y>2,x,y不存在;当z=3时,6>x>y>3,x=5,y=4,此时该小组人数最小,最小值为5+4+3=12.二、思维提升训练13.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输出的S为,则判断框中填写的内容可以是( )A.n=6?B.n<6?C.n≤6?D.n≤8?答案：C解析：第一次循环S=0+=,n=4;第二次循环S=+=,n=6;第三次循环S=+=,n=8.由于输出的S为,此时要结束循环,所以判断框中填写的内容为选项C.14.执行如图所示的程序框图,输出的S为( )A.3B.C.D.-2答案：C解析：第一次循环:S=2-=,k=k+1=2,此时满足条件,继续循环;第二次循环:S=2-=,k=k+1=3,此时满足条件,继续循环;第三次循环:S=2-=-2,k=k+1=4,此时满足条件,继续循环;第四次循环:S=2-=3,k=k+1=5,此时满足条件,继续循环;第五次循环:S=2-=,k=k+1=6,此时满足条件,继续循环;……可知此循环是以4为周期反复循环,由2014=4×503+2,可知第2014次循环:S=2-=,k=k+1=2015,此时不满足条件,结束循环,所以输出的S为.15.执行如图所示的一个程序框图,若f(x)在区间[-1,a]上的值域为[0,2],则实数a的取值范围是( )8\nA.(0,1]B.[1,]C.[1,2]D.[,2]答案：B解析：由程序框图可知,f(x)=当a<0时,f(x)=log2(1-x)+1在区间[-1,a]上为减函数,f(-1)=2,f(a)=0⇒1-a=,a=,不符合题意;当a≥0时,f'(x)=3x2-3>0⇒x>1或x<-1,∴函数在区间[0,1]上单调递减,又f(1)=0,∴a≥1;又函数在区间[1,a]上单调递增,∴f(a)=a3-3a+2≤2⇒a≤.故实数a的取值范围是[1,].16.对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( )A.-1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y=f(x)上答案：A解析：f'(x)=2ax+b.若A正确,则f(-1)=0,即a-b+c=0,①若B正确,则f'(1)=0,即2a+b=0,②若C正确,则f'(x0)=0,且f(x0)=3,即f=3,即c-=3.③若D项正确,则f(2)=8,即4a+2b+c=8.④假设②③④正确,则由②得b=-2a,代入④得c=8,代入③得8-=3,解得a=5,b=-10,c=8.此时f(x)=5x2-10x+8,f(-1)=5×(-1)2-10×(-1)+8=5+10+8=23≠0,即A不成立.故B,C,D可同时成立,而A不成立.故选A.17.如下是按一定规律排列的三角形等式表,现将等式从左至右,从上到下依次编上序号,即第一个等式为20+21=3,第二个等式为20+22=5,第三个等式为21+22=6,第四个等式为20+23=9,第五个等式为21+23=10,……,依此类推,则第99个等式为( )20+21=320+22=5 21+22=620+23=9 21+23=10 22+23=1220+24=17 21+24=18 22+24=20 23+24=24……A.27+213=8320B.27+214=16512C.28+214=16640D.28+213=8448答案：B解析：依题意,用(t,s)表示2t+2s,题中等式的规律为:第一行为3(0,1);第二行为5(0,2),6(1,2);第三行为9(0,3),10(1,3),12(2,3);第四行为17(0,4),18(1,4),20(2,4),24(3,4);……,又因为99=(1+2+3+…+13)+8,所以第99个等式应位于第14行的从左到右的第8个位置,即是27+214=16512,故选B.8\n18.执行如图所示的程序框图,输出的n为 . 答案：4解析：当a=1,n=1时,进入循环,a=1+=,n=2;此时|a-1.414|≥0.005,继续循环,a=1+=1+=,n=3;此时|a-1.414|≥0.005,继续循环,a=1+=1+=,n=4;此时|a-1.414|≈0.003<0.005,退出循环,因此n的值为4.19.下面程序框图的输出结果为 . 答案：8解析：第一次循环,i=1+3=4,S=0+=;第二次循环,i=4+1=5,S=+=;第三次循环,i=5+3=8,S=+=.由于<不成立,结束循环,输出的i值为8.20.在计算“1×2+2×3+…+n(n+1)”时,某同学学到了如下一种方法:先改写第k项:k(k+1)=[k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)],由此得1×2=(1×2×3-0×1×2),2×3=(2×3×4-1×2×3),……n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)].相加,得1×2+2×3+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2).类比上述方法,请你计算“1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)”,其结果是 .(结果写成关于n的一次因式的积的形式) 答案：n(n+1)(n+2)(n+3)解析：先改写第k项:k(k+1)(k+2)=[k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)],由此得1×2×3=(1×2×3×4-0×1×2×3),8\n2×3×4=(2×3×4×5-1×2×3×4),…,n(n+1)(n+2)=[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)],相加得1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)·(n+3).8
