第五章平面向量复数知识构造网络5.1平面向量的概念与运算一.明确复习目标1理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念2掌握向量的加法和减法3掌握实数与向量的积;理解两个向量共线的充要条件二．建构知识网络1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量.可用有向线段表示.记作:…或…等；向量的长度即向量的模记作||。(2)零向量：其方向：(3)单位向量：单位向量不唯一.(4)平行向量（共线向量）：方向相同或相反方向相同或相反.规定：与任意向量平行。13/13\n(5)相等向量：长度相等且方向相同.2.向量加法:设，(1)求两个向量和的运算叫做向量的加法，向量加法按“平行四边形法那么”或“三角形法那么”进展。DCBA如图+==。或+=规定：；(2)向量加法满足交换律与结合律；3.向量的减法（1）相反向量：关于相反向量有：①=；②+()=()+=；③假设、是互为相反向量，那么=,=,+=。（2）向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。如上图表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）。(3)温馨提示：①用平行四边形法那么时，两个已知向量是要共始点的，和向量与差向量分别是两条对角线,注意方向。②三角形法那么的特点是“顺次首尾相接”由此可知,封闭折线的向量和为零.差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。13/13\n4.实数与向量的积(1)实数λ与向量的积：①是个向量;②模等于③方向λ>0时与同向,λ<0时与反向.(2)数乘向量满足交换律、结合律与分配律。5.向量共线定理：向量与非零向量共线怎样判定向量共线——(1)共线向量定理；(2)依定义;(3)用几何方法.6.平面向量的根本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.三、双基题目练练手1．(2022广东)已知D是△ABC的边AB上的中点，那么向量（）A.BC.D.2．（2022山东）已知向量，且那么一定共线的()A.Ａ、B、DB.A、B、CC.B、C、DD.A、C、D13/13\n3．（2022江西）已知等差数列的前项和为,假设,且、、三点共线(该直线不过点),那么等于（）A.100B.101C.200D.2014．设为非零向量，那么以下命题中,真命题的个数是______①与有相等的模；②与的方向相同；③与的夹角为锐角；④且方向相反．5.(2022安徽)在平行四边形ABCD中,,,,M为BC的中点,那么=__________（用表示）6.设向量、不共线，=k+，=+k(kÎR)，假设∥，那么k=___7.(2022湖南)如图,,点在由射线,线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且,PBAOM那么的取值范围是________;当时,的取值范围是__________.答案:1-3.AAA；4.2;5.找封闭折线,得;13/13\n6.=λ(λÎR)…;法2.仿坐标表示:k2-1=0…;7.(),.提示:作PC//OB,交AO延长线于点C,可知x<0.当时,PC//AB,设PC交OM于D,交AB延长线于E,P必在DE之间,可知.四、经典例题做一做【例1】如图,在梯形ABCD中,G为对角线AC、BD的交点，E、F分别是腰AD、BC的中点，求向量。GFEDCBA图1解：（1）∵E,F分别是两腰的中点，∴,又，，两式相加得；（2）设，，由得：∴,◆提炼方法：1.用好“封闭折线的向量和等于零向量”;2.由共线求交点的方法:待定系数λ,μ.【例2】设不共线，求证：点P、A、B共线的充要条件是：13/13\n。证明：充分性：∴A、P、B共线。必要性：A、P、B共线，那么有必要性成立。特例：当时，，此时P为AB的中点，这是向量的中点公式。◆提炼方法1.利用向量证明三点共线的方法：(1)证明有公共点的的两个向量平行,那么这两个向量的四个(三个)端点共线；(2)利用此题的结论.2.证向量平行的方法:(1)共线向量定理；(2)依定义;(3)用几何方法.【例3】已知G是△ABC的重心，O是外心,H是垂心,P是平面ABC内任意一点,求证：baGCBA图2D(1);(2);13/13\n(3);(4)点O、G、H三点共线。证明：(1)以向量为邻边作平行四边形GBEC，那么，又G为△ABC的重心知，从而，∴。（2）如图1易知，，；三式相加得（3）作辅助线如图2,DA⊥AC,DB⊥BC,∴DA//BH,DB//AHDOHCBAE图3在ADBH中,,∴(4)在(2)中取P为O,得∴,点O、G、H共线。◆提炼方法：1.明确解题目标,用好加法的两个法那么、几何图形和向量中处理问题的一些手法，如向量共线、点共线的证法和用法;2.（2022全国Ⅰ）的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，那么实数m=.是题(3)的结果.13/13\n【例4】一条河的两岸平行，河的宽度为，一艘船从处出发航行到河的正对岸处，船的航行速度为，水流速度为.(1)试求的夹角(准确到),及船垂直到达对岸所用的时间(准确到);(2)要使船到达对岸所用时间最少,的夹角应为多少?┐AB解(1)依题意,要使船到达对岸,就要使的合速度的方向正好垂直于对岸,所以,的夹角满足,,故的夹角；船垂直到达对岸所用的时间.（2）设的夹角为（如图），在垂直方向上的分速度的和为，而船到达对岸时，在垂直方向上行驶的路程为，从而所用的时间为，显然，当时，最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，为.◆提炼方法：理解物理意义，用向量的知识解决.ABC图4EIDF【研讨.欣赏】如图4,求证ΔABC的三条角平分,AD,BE,CF交于一点.证明:设,CF,BE交于点I.由于13/13\nC,I,F共线,B,I,E共线,可设由得,∵不共线,∴同理设CF,AD交于点J,,可求得δ=λ,即J与I重合,说明三条角平分线交于一点.◆方法提炼:相邻两边上单位向量的和向量在两边夹角角的平分线上.五．提炼总结以为师1.向量的有关概念:①向量②零向量③单位向量④平行向量（共线向量）⑤相等向量2.向量加法减法:3.实数与向量的积4.两个向量共线定理,会由此定理证共线、求交点或线段长度,比值.5.平面向量的根本定理,基底。同步练习5.1平面向量的概念与运算【选择题】CBAD1.(2022上海)如图，在平行四边形ABCD中，以下13/13\n结论中错误的选项是（）（A）；（B）；（C）；（D）；2.(2022福建)已知点C在内,使。设，那么等于()A. B.3 C. D. 3.设非零向量,,,假设=++,那么||的取值范围是（ ）A．[0,1][0,2][0,3][-3,3]4.(2022全国Ⅰ)设平面向量、、的和如果向量、、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，那么()ABCD【填空题】5.设是不共线的向量,已知向量,，假设A,B,D三点共线,那么k的值等于_________-813/13\n６．已知（，）是平面上一个基底，假设=+λ，=-2λ-，假设，共线，那么λ=__________。◆练习简答：1-4.CBCD;2.易知OC⊥AB,由得.3.、、是单位向量,把起点移至原点，终点在单位圆上；方向相同时||最大为3，终点均匀分布在单位圆上时||最小为0.5.-8;6.【解答题】HDFaBAMC7.如图：已知在平行四边形ABCD中，AH=HD，BF=MC=BC，设=，=，试用、分别表示、、解：∵ABCD中，BF=MC=BC,∴FM=BC=AD=AH∴FMAH∴四边形AHMF也是平行四边形，∴AF=HM又,而∴=+,=---(--)=+8.求证：起点相同的三个非零向量，，3－2的终点在同一条直线上．证明：设起点为O，＝，=，＝3－2，13/13\n那么=2(－)，=－，，∵共线且有公共点A，因此，A，B，C三点共线，即向量，，3－2的终点在同一直线上．9.假设a、b是两个不共线的非零向量（t∈R）.（1）假设a与b起点相同，t为何值时，a、tb、（a+b）三向量的终点在一直线上?（2）假设|a|=|b|且a与b夹角为60°，那么t为何值时，|a－tb|的值最小?解：（1）设a－tb=m［a－（a+b）］（m∈R），化简得（－1）a=（－t）b.∵a与b不共线，∴∴t=时，a、tb、（a+b）的终点在一直线上.（2）|a－tb|2=（a－tb）2=|a|2+t2|b|2－2t|a||b|cos60°=（1+t2－t）|a|2，∴t=时，|a－tb|有最小值|a|.评述：用两个向量共线的充要条件，可解决平面几何中的平行问题或共线问题.10.求证ΔＡＢＣ的三条中线AD、BE、CF交于一点，并确定交点在中线上的位置。_GFEDAC证明：设，ＡＤ，ＢＥ交于点Ｇ，，在ΔACG中，由，可得．13/13\n同理可证，ＡＤ，ＣＦ也交于Ｇ点，Ｇ在ＡＤ的三分点处．【探索题】在△ABC中，AM∶AB=1∶3，AN∶AC=1∶4，BN与CM交于点E，=a，=b，用a、b表示.ABCMNE解：由已知得=，=.设=λ，λ∈R，那么=+=+λ.=+λ（－）=+λ（－）=（－）+λ.同理，设=t，t∈R，那么=+=+t=+t（－）=+t（－）=（－）+t.∴（－）+λ=（－）+t.由与是不共线向量，得解得∴=a+b.13/13
