星期五 (选修4-1、4-4、4-5) 2022年____月____日(请同学从下面所给的三个选修模块中选定一个模块作答)一、选修4-1：几何证明选讲(命题意图：考查三角形相似的判定，考查圆的切线的证明及弦切角定理等，考查推理论证能力和计算能力．)如图所示，四边形ABCD内接于圆O，AC交BD于点E，圆的切线DF交BC的延长线于F，且CD平分∠BDF.(1)求证：AB·AD＝AC·AE(2)若圆的半径为2，弦BD长为2，求切线DF的长．(1)证明 由弦切角定理可知∠CDF＝∠CAD，∵∠CDB＝∠CAB，∠FDC＝∠BDC，∴∠CAD＝∠EAB.∵∠ACD＝∠ABD，∴△CDA∽△BEA，∴＝，∴AB·AD＝AC·AE.(2)解 连接OD，OB.在△BOD中，OD＝OB＝2，BD＝2，∴∠BOD＝120°，∴∠CBD＝∠BDC＝∠CDF＝30°，∴∠BFD＝90°.在直角△BFD中，DF＝BD＝，∴切线DF的长为.二、选修4-4：坐标系与参数方程(命题意图：考查代入法求轨迹方程，考查圆的参数方程化为直角坐标方程，考查圆与圆的位置关系等．)以极点为原点，以极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝10，曲线C′的参数方程为(α为参数)．(1)判断两曲线的位置关系；(2)若直线l与曲线C和C′均相切，求直线l的极坐标方程．解 (1)由ρ＝10得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝100；由得曲线C′的普通方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝25，曲线C表示以(0，0)为圆心，10为半径的圆；曲线C′表示以(3，－4)为圆心，5为半径的圆．2\n因为两圆心间距离5等于两圆半径的差，所以圆C和圆C′的位置关系是内切．(2)由(1)可知两圆的切点坐标为(6，－8)，且公切线的斜率为，所以直线l的直角坐标方程为y＋8＝(x－6)，即3x－4y－50＝0，所以极坐标方程为3ρcosθ－4ρsinθ－50＝0.三、选修4-5：不等式选讲(命题意图：考查含绝对值不等式的求解，考查不等式的证明．)设函数f(x)＝＋|x－a|(a＞0)．(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)＜5，求a的取值范围．(1)证明：由a＞0，有f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2.所以f(x)≥2.(2)解 f(3)＝＋|3－a|.当a＞3时，f(3)＝a＋，由f(3)＜5得3＜a＜.当0＜a≤3时，f(3)＝6－a＋，由f(3)＜5得＜a≤3.综上，a的取值范围是.2
