星期五 (选修4－1、4－4、4－5) 2022年____月____日(请同学从下面所给的三个选修模块中选定一个模块作答.)1.选修4－1：几何证明选讲(命题意图：考查圆的切线的性质、弦切角定理、三角形相似等知识，考查学生推理论证能力.)如图所示，圆O的两弦AB和CD交于点E，EF∥CB，EF交AD的延长线于点F，FG切圆O于点G.(1)求证：△DFE∽△EFA；(2)如果FG＝1，求EF的长.(1)证明⇒⇒△DFE∽△EFA.(2)解 △EFA∽△DFE⇒FE2＝FD·FA又因为FG为切线，则FG2＝FD·FA所以，EF＝FG＝1.2.选修4－4：坐标系与参数方程(命题意图：考查参数方程与普通方程的互化，考查直线与椭圆位置关系等.)已知曲线C的参数方程为(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C′.(1)求曲线C′的普通方程；(2)若点A在曲线C′上，点B(3，0)，当点A在曲线C′上运动时，求AB中点P的轨迹方程.解 (1)C：⇒C：＋＝1，将⇒代入C的普通方程得x′2＋y′2＝1，即C′：x2＋y2＝1；2\n(2)设P(x，y)，A(x0，y0)，又B(3，0)，则x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y，即A(2x－3，2y)，代入C′：x2＋y2＝1，得(2x－3)2＋(2y)2＝1，即＋y2＝，AB中点P的轨迹方程为＋y2＝.3.选修4－5：不等式选讲(命题意图：考查含绝对值不等式的求解以及证明.)已知f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，不等式f(x)<4的解集为M.(1)求M；(2)当a，b∈M时，证明：2|a＋b|<|4＋ab|.(1)解 解不等式：|x＋1|＋|x－1|<4，或或⇒1≤x<2或－1≤x<1或－2<x<－1，⇒－2<x<2⇒M＝(－2，2).(2)证明 要证明原不等式成立，需证明：4(a2＋2ab＋b2)<a2b2＋8ab＋16，只需证明a2b2－4a2－4b2＋16>0，即需证明(a2－4)(b2－4)>0.证明：a，b∈(－2，2)⇒a2<4，b2<4⇒(a2－4)<0，(b2－4)<0⇒(a2－4)(b2－4)>0，所以原不等式成立.2
